בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – חורף 2023

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה במרחב, סטטיסטיקה (שאלות 1–2); פרק שני – גדילה ודעיכה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 3–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעה ו־45 דקות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2023

שאלון 472 חורף 2023 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 472 חורף 2023 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 472 חורף 2023 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 472 חורף 2023 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 472 חורף 2023 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – וקטורים בתיבה

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′. הנקודה E היא מפגש אלכסוני הפאה AA′D′D.

סרטוט התיבה משאלה 1 בשאלון

נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w. הנקודה F מקיימת: EF = 12u.

א. (1) הביעו את הווקטורים BD′ ו־AE באמצעות u, v ו־w. (2) הוכיחו: BF = 12BD′.

ב. (1) הסבירו מדוע EF מקביל ל־AB. (2) הוכיחו: AB מאונך ל־AE.

נתון: בסיס התיבה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 2. נפח התיבה הוא 16.

ג. (1) חשבו את אורך המקצוע הצדדי של התיבה. (2) חשבו את אורך הווקטור BF.

ד. (1) חשבו את גודל הזווית ABF. (2) מצאו את הגדלים של שאר הזוויות של המרובע AEFB.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – הבעת BD′ ו־AE

BD′: מ־B הולכים ל־A, משם ל־D, ומשם עולים ל־D′:
BD′ = BA + AD + DD′📐 חיבור וקטורים (שרשרת)XY = XZ + ZY
BA = −u , DD′ = AA′ = w📐 וקטור נגדי ווקטורים שוויםXY = −YXמקצועות מקבילים ושווים בתיבה – אותו וקטור
BD′ = −u + v + w
AE: E היא מפגש אלכסוני המלבן AA′D′D, ואלכסוני מלבן חוצים זה את זה – לכן E אמצע האלכסון AD′.
AD′ = AD + DD′ = v + w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
AE = 12AD′ = 12v + 12w📐 אלכסוני מלבןאלכסוני מלבן חוצים זה את זה
ABCDA′B′C′D′E
✅ פתרון סופי: BD′ = −u + v + w
AE = 12v + 12w

סעיף א (2) – הוכחה ש־BF = ½BD′

מ־B הולכים ל־A, משם ל־E, ומשם ל־F:
BF = BA + AE + EF📐 חיבור וקטורים (שרשרת)XY = XZ + ZY
BF = −u + 12v + 12w + 12u
BF = −12u + 12v + 12w
מוציאים 12 כגורם משותף:
BF = 12(−u + v + w) = 12BD′
✅ פתרון סופי: הוכחנו: BF = 12BD′

סעיף ב (1) – למה EF מקביל ל־AB

EF = 12u = 12AB
a = k · b ⟸ a ∥ b📐 וקטורים מקביליםוקטור שהוא כפולה של וקטור אחר מקביל לו
✅ פתרון סופי: EF הוא כפולה של AB ← EF ∥ AB

סעיף ב (2) – הוכחה ש־AB מאונך ל־AE

בתיבה כל שלושת המקצועות היוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה:
u · v = 0 , u · w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
AB · AE = u · (12v + 12w)
= 12u · v + 12u · w = 12 · 0 + 12 · 0 = 0📐 פילוג במכפלה סקלריתa · (b + c) = a · b + a · c
AB ⊥ AE📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
ABCDA′B′C′D′EF
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB · AE = 0 ← AB ⊥ AE

סעיף ג (1) – אורך המקצוע הצדדי

נסמן ב־h את המקצוע הצדדי AA′. הבסיס ריבוע שצלעו 2:
V = 2 · 2 · h = 4h📐 נפח תיבהV = a · b · c
4h = 16
h = 4
✅ פתרון סופי: המקצוע הצדדי: 4

סעיף ג (2) – אורך BF

קודם אורך האלכסון BD′ – אלכסון התיבה, שמקצועותיה 2, 2 ו־4:
|BD′| = √22 + 22 + 42 = √4 + 4 + 16 = √24 = 2√6📐 אלכסון תיבהd = √a2 + b2 + c2
לפי סעיף א (2), BF הוא חצי מ־BD′:
|BF| = 12 · 2√6 = √6 ≈ 2.45📐 אורך של כפולת וקטור|k · a| = |k| · |a|
✅ פתרון סופי: |BF| = √6 ≈ 2.45

סעיף ד (1) – הזווית ABF

הזווית ABF היא הזווית בין הווקטורים BA = −u ו־BF = −12u + 12v + 12w.
נתונים לחישוב: |u| = 2 , |v| = 2 , |w| = 4, וכל המכפלות u · v , u · w , v · w שוות 0.
BA · BF = −u · (−12u + 12v + 12w)📐 פילוג במכפלה סקלריתa · (b + c) = a · b + a · c
= 12|u|2 − 0 − 0 = 12 · 4 = 2📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|2
cos ∢ABF = 22 · √6 = 1√6 ≈ 0.4082📐 זווית בין וקטוריםcos ∢ = a · b|a| · |b|
∢ABF ≈ 65.91 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ABF ≈ 65.91 מעלות

סעיף ד (2) – שאר הזוויות של AEFB

לפי סעיף ב: EF ∥ AB – לכן AEFB הוא טרפז (בסיסים AB ו־EF). ולפי סעיף ב (2): AB ⊥ AE.
∢EAB = 90📐 סעיף ב (2)AB ⊥ AE
∢AEF + ∢EAB = 180 ⟸ ∢AEF = 180 − 90 = 90📐 זוויות בטרפזבטרפז, סכום שתי זוויות שליד אותה שוק הוא 180 מעלות
∢EFB + ∢ABF = 180 ⟸ ∢EFB ≈ 180 − 65.91 = 114.09📐 זוויות בטרפזבטרפז, סכום שתי זוויות שליד אותה שוק הוא 180 מעלות
בדיקה: 90 + 90 + 114.09 + 65.91 = 360 ✓
✅ פתרון סופי: ∢EAB = 90
∢AEF = 90
∢EFB ≈ 114.09 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)BD′ = −u + v + w
AE = 12v + 12w
סעיף א (2)הוכחה
סעיף בהוכחות: EF ∥ AB , AB ⊥ AE
סעיף ג (1)4
סעיף ג (2)√6 ≈ 2.45
סעיף ד (1)≈ 65.91 מעלות
סעיף ד (2)90 , 90 , 114.09 מעלות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – רגרסיה: קורס גמילה מעישון

📄 נוסח השאלה

במחקר שנועד לבדוק את ההשפעה של קורס לגמילה מעישון, השתתפו 9 מעשנים שנכחו בקורס. בעבור כל אחד מהם נמדדה צריכת הסיגריות היומית לפני הקורס (X), וצריכת הסיגריות היומית לאחר שבוע מתחילת הקורס (Y). הנתונים שהתקבלו מפורטים בטבלה שלפניכם:

משתתףX – לפני הקורסY – אחרי שבוע
153
21510
32019
42220
52222
62522
72824
83030
94030

א. חשבו את ממוצע צריכת הסיגריות היומית למשתתף במחקר לפני הקורס ואת ממוצע צריכת הסיגריות היומית למשתתף במחקר לאחר שבוע מתחילת הקורס.

ב. סרטטו דיאגרמת פיזור של Y כתלות ב־X (כל משבצת במחברת מייצגת 2 סיגריות ליום).

ג. על פי הדיאגרמה שסרטטתם, בחרו במקדם המתאם המתאים לנתונים מבין המספרים שלפניכם, ורשמו אותו: r = 1 , r = 0.949 , r = 0.212 , r = −0.633.

נתונות סטיות התקן SX = 9.226 , SY = 8.26.

ד. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי Y על פי X.

ה. אלעד מעשן 21 סיגריות ביום. הוא רוצה להשתתף בקורס לגמילה מעישון. על פי ישר הרגרסיה שמצאתם, מהו הניבוי לצריכת הסיגריות היומית שלו לאחר שבוע מתחילת הקורס?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הממוצעים

סכום ערכי X: 5 + 15 + 20 + 22 + 22 + 25 + 28 + 30 + 40 = 207
X̄ = 2079📐 ממוצעממוצע = x1 + x2 + … + xnn
X̄ = 2079 = 23
סכום ערכי Y: 3 + 10 + 19 + 20 + 22 + 22 + 24 + 30 + 30 = 180
Ȳ = 1809📐 ממוצעממוצע = x1 + x2 + … + xnn
Ȳ = 1809 = 20
✅ פתרון סופי: לפני הקורס: X̄ = 23 סיגריות ביום
אחרי שבוע: Ȳ = 20 סיגריות ביום

סעיף ב – דיאגרמת פיזור

כל משתתף הוא נקודה (X , Y): ציר ה־x – הצריכה לפני הקורס, ציר ה־y – הצריכה אחרי שבוע.
הנקודות: (5 , 3), (15 , 10), (20 , 19), (22 , 20), (22 , 22), (25 , 22), (28 , 24), (30 , 30), (40 , 30).
51015202530354051015202530xy
✅ פתרון סופי: דיאגרמת הפיזור בסרטוט

סעיף ג – בחירת מקדם המתאם

בדיאגרמה הנקודות עולות משמאל לימין – קשר חיובי. לכן r = −0.633 נפסל.
הנקודות קרובות מאוד לקו ישר עולה – קשר חזק. לכן r = 0.212 (קשר חלש) נפסל.
אבל הנקודות לא נמצאות בדיוק על ישר אחד (למשל (30 , 30) ו־(40 , 30) באותו גובה) – לכן r = 1 (קשר מושלם) נפסל.
r קרוב ל־1 ← קשר חיובי חזק📐 משמעות מקדם המתאםr = 1 – כל הנקודות על ישר עולהr קרוב ל־1 – קשר חיובי חזקr קרוב ל־0 – קשר חלש
✅ פתרון סופי: r = 0.949

סעיף ד – משוואת ישר הרגרסיה

b = r · SYSX📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · SYSX
b = 0.949 · 8.269.226 ≈ 0.949 · 0.8953 ≈ 0.85
ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (X̄ , Ȳ) = (23 , 20):
y − 20 = 0.85(x − 23)📐 ישר הרגרסיה דרך נקודת הממוצעיםy − Ȳ = b(x − X̄)
y − 20 = 0.85x − 19.55
y = 0.85x + 0.45
51015202530354051015202530xyy = 0.85x + 0.45(23, 20)(21, 18.3)
✅ פתרון סופי: y = 0.85x + 0.45

סעיף ה – הניבוי לאלעד

מציבים x = 21 במשוואת ישר הרגרסיה:
y = 0.85 · 21 + 0.45 = 17.85 + 0.45 = 18.3📐 ישר הרגרסיה (סעיף ד)y = 0.85x + 0.45
✅ פתרון סופי: הניבוי: כ־18 סיגריות ביום (18.3)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אX̄ = 23 , Ȳ = 20
סעיף בדיאגרמת פיזור
סעיף גr = 0.949
סעיף דy = 0.85x + 0.45
סעיף הכ־18 סיגריות ביום
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – חקירת פונקציית e עם מנה ופרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e2xx2 − 2.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה f(x) המאונכות לציר ה־x.

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. לפניכם סקיצה חלקית של גרף הפונקצייה f(x). העתיקו את הסקיצה החלקית למחברתכם, והשלימו בה את החלקים החסרים של גרף הפונקצייה f(x).

הסקיצה החלקית משאלה 3 בשאלון

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) + c. c הוא פרמטר.

ה. מצאו את שני הערכים האפשריים של c שבעבורם יש לפונקצייה g(x) נקודת קיצון על הישר y = 3. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

המונה e2x מוגדר לכל x. הבעיה היחידה – מכנה ששווה 0:
x2 − 2 = 0 ⟸ x2 = 2 ⟸ x = ±√2📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: כל x חוץ מ־x ≠ ±√2

סעיף א (2) – אסימפטוטות אנכיות

ב־x = ±√2 המכנה מתאפס והמונה e2x > 0 (לא מתאפס):
מכנה = 0 ומונה ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 ומונה ≠ 0 ← אסימפטוטה אנכית
✅ פתרון סופי: x = √2 , x = −√2

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0):
f(0) = e00 − 2 = 1−2 = −12
ציר ה־x: שבר שווה 0 רק כשהמונה 0:
e2x = 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
אין פתרון, כי e2x > 0 תמיד – אין חיתוך עם ציר ה־x.
✅ פתרון סופי: (0 , −12); עם ציר ה־x – אין

סעיף ג – נקודות הקיצון

כלל המנה עם u = e2x, v = x2 − 2 ⟸ v′ = 2x:
u′ = 2 · e2x📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
f′(x) = 2e2x · (x2 − 2) − e2x · 2x(x2 − 2)2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
מוציאים 2e2x כגורם משותף במונה:
f′(x) = 2e2x · (x2 − x − 2)(x2 − 2)2 = 2e2x · (x − 2)(x + 1)(x2 − 2)2
f′(x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
(x − 2)(x + 1) = 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
x = 2 או x = −1
f(2) = e44 − 2 = e42 ≈ 27.30
f(−1) = e−21 − 2 = −e−2 ≈ −0.14
סימן הנגזרת: 2e2x > 0 והמכנה (ריבוע) חיובי, ולכן הסימן הוא הסימן של (x − 2)(x + 1). בודקים בכל תחום (כולל האסימפטוטות):
x = −2 : (−4)(−1) = 4 > 0 ← עולה
x = −1.2 : (−3.2)(−0.2) > 0 ← עולה
x = 0 : (−2)(1) = −2 < 0 ← יורדת
x = 1.8 : (−0.2)(2.8) < 0 ← יורדת
x = 3 : (1)(4) = 4 > 0 ← עולה
ב־x = −1: עולה ואז יורדת ← מקסימום. ב־x = 2: יורדת ואז עולה ← מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מקסימום (−1 , −1e2) ≈ (−1 , −0.14)
מינימום (2 , e42) ≈ (2 , 27.30)

סעיף ד – השלמת הסקיצה

משמאל ל־x = −√2: המכנה חיובי – הגרף מעל ציר ה־x. כש־x שואף למינוס אינסוף, e2x שואף ל־0, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה; הפונקצייה עולה ושואפת לאינסוף ליד האסימפטוטה.
בין −√2 ל־√2: המכנה שלילי – הגרף מתחת לציר ה־x. מתחיל במינוס אינסוף, עולה למקסימום (−1 , −0.14), יורד דרך (0 , −0.5) ושואף למינוס אינסוף ליד x = √2.
מימין ל־x = √2: מעל ציר ה־x – יורד מאינסוף למינימום (2 , 27.30) ואז עולה לאינסוף.
הגרף המלא בקנה מידה (הקווים המקווקווים הירוקים – האסימפטוטות):
-3-2-1123-5102030xyf(x)(2, 27.30)(−1, −0.14)(0, −0.5)
✅ פתרון סופי: הגרף המלא בסרטוט

סעיף ה – ערכי c

הוספת קבוע c מזיזה את הגרף למעלה או למטה בלבד. הנגזרת לא משתנה:
g′(x) = f′(x) + 0 = f′(x)📐 נגזרת של קבוע היא 0(f(x) + c)′ = f′(x)
לכן ל־g יש נקודות קיצון באותם ערכי x: x = −1 ו־x = 2, ושיעורי ה־y שלהן עולים ב־c:
(−1 , −1e2 + c) , (2 , e42 + c)
אפשרות 1 – המקסימום על הישר y = 3:
−1e2 + c = 3 ⟸ c = 3 + 1e2 ≈ 3.14
אפשרות 2 – המינימום על הישר y = 3:
e42 + c = 3 ⟸ c = 3 − e42 ≈ −24.30
✅ פתרון סופי: c = 3 + 1e2 ≈ 3.14
או c = 3 − e42 ≈ −24.30

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)x ≠ ±√2
סעיף א (2)x = ±√2
סעיף ב(0 , −12)
סעיף גמקסימום (−1 , −1e2)
מינימום (2 , e42)
סעיף דסקיצה
סעיף הc = 3 + 1e2
c = 3 − e42
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית ln ופונקציית ערך מוחלט

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (ln x)2 − a · ln x + 3. a הוא פרמטר. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x היא (e3 , 0).

א. מצאו את a.

הציבו a = 4 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ב–ו שלפניכם.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך האחרת של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ד. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = |f(x)| המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקצייה f(x).

ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x).

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – מציאת a

הנקודה (e3 , 0) על הגרף, ולכן f(e3) = 0:
(ln e3)2 − a · ln e3 + 3 = 0
ln e3 = 3📐 ln של חזקת eln eb = b
32 − 3a + 3 = 0 ⟸ 12 − 3a = 0
3a = 12 ⟸ a = 4
✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ב – תחום ההגדרה

x > 0📐 תחום הגדרה של lnln t מוגדר רק כש־t > 0
אין מכנה ואין שורש – התנאי היחיד הוא של ln.
✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף ג – נקודת החיתוך האחרת

(ln x)2 − 4 ln x + 3 = 0
נציב t = ln x ונקבל משוואה ריבועית:
t2 − 4t + 3 = 0
מקדמי המשוואה הריבועית: 1 , −4 , 3.
t = 4 ± √16 − 122 = 4 ± 22📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
t = 3 או t = 1
חוזרים ל־x:
ln x = 3 ⟸ x = e3 , ln x = 1 ⟸ x = e📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
(e3 , 0) נתונה, ולכן הנקודה האחרת היא (e , 0).
✅ פתרון סופי: (e , 0) ≈ (2.72 , 0)

סעיף ד – נקודת הקיצון

((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[g(x)n]′ = n · g(x)n − 1 · g′(x)
(4 ln x)′ = 4x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = 2 ln xx − 4x = 2 ln x − 4x
f′(x) = 0 ⟸ 2 ln x − 4 = 0 ⟸ ln x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
x = e2 ≈ 7.39📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
f(e2) = 22 − 4 · 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
סימן הנגזרת: המכנה x > 0, ולכן הסימן נקבע לפי 2 ln x − 4:
x = e : 2 · 1 − 4 = −2 < 0 ← יורדת
x = e3 : 2 · 3 − 4 = 2 > 0 ← עולה
ב־x = e2: יורדת ואז עולה ← מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מינימום (e2 , −1) ≈ (7.39 , −1)

סעיף ה – סקיצה של f

כש־x מתקרב ל־0 מימין, ln x שואף למינוס אינסוף, ו־(ln x)2 שואף לאינסוף – לכן הגרף עולה לאינסוף ליד ציר ה־y (ציר ה־y הוא אסימפטוטה אנכית).
הגרף יורד, חותך את ציר ה־x ב־(e , 0), ממשיך לרדת למינימום (e2 , −1), עולה וחותך שוב ב־(e3 , 0) ≈ (20.09 , 0), וממשיך לעלות (לאט).
51015-22468xyf(x)(e, 0)(e³, 0)(e², −1)
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט

סעיף ו – סקיצה של g(x) = |f(x)|

|t| = t , t ≥ 0📐 ערך מוחלט|t| = t כש־t ≥ 0|t| = −t כש־t < 0
איפה ש־f(x) ≥ 0 (כש־0 < x ≤ e וכש־x ≥ e3) – הגרף של g זהה לגרף של f.
איפה ש־f(x) < 0 (כש־e < x < e3) – הגרף של g הוא שיקוף של f ביחס לציר ה־x. המינימום (e2 , −1) הופך למקסימום (e2 , 1).
בנקודות (e , 0) ו־(e3 , 0) הגרף של g נוגע בציר ה־x ויוצר "שפיץ".
510152468xyg(x)(e, 0)(e³, 0)(e², 1)
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אa = 4
סעיף בx > 0
סעיף ג(e , 0)
סעיף דמינימום (e2 , −1)
סעיף הסקיצה
סעיף וסקיצה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 5 – פתרון משוואות עם ln והצבת t
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – פונקציית e, נגזרת ושטח

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקצייה f(x), והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת f′(x). כל אחד מן הגרפים חותך את ציר ה־x בנקודה אחת בלבד.

הגרפים I ו־II משאלה 5 בשאלון

א. איזה מן הגרפים I, II מתאים לגרף פונקציית הנגזרת f′(x)? נמקו.

נתון: f(x) = (x − 3) · ex.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = −f′(x).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x).

ו. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי גרף הפונקצייה g(x) ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – איזה גרף הוא של הנגזרת

לגרף II יש נקודת מינימום אחת. בנקודה הזו הנגזרת צריכה להתאפס ולעבור ממינוס לפלוס – וזה בדיוק המקום שבו גרף I חותך את ציר ה־x כשהוא עולה.
בנוסף: משמאל לנקודה הזו גרף II יורד – ושם גרף I מתחת לציר ה־x (נגזרת שלילית); מימין גרף II עולה – ושם גרף I מעל הציר (נגזרת חיובית).
מינימום של f ← f′ עוברת ממינוס לפלוס📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
(בכיוון ההפוך זה לא עובד: אילו II היה הנגזרת, במקום שבו II חותך את ציר ה־x היה צריך להיות קיצון של גרף I – אבל שם גרף I רק עולה.)
✅ פתרון סופי: גרף I הוא גרף הנגזרת

סעיף ב – תחום ההגדרה

x − 3 – מוגדר לכל x; ex – מוגדר לכל x. אין מכנה, שורש או ln.
✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ג – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0):
f(0) = (0 − 3) · e0 = −3
ציר ה־x:
(x − 3) · ex = 0
ex > 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
x − 3 = 0 ⟸ x = 3
✅ פתרון סופי: (0 , −3) , (3 , 0)

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

כלל המכפלה עם u = x − 3 ⟸ u′ = 1 ו־v = ex:
(ex)′ = ex📐 נגזרת e(ex)′ = ex
f′(x) = 1 · ex + (x − 3) · ex📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
f′(x) = ex · (1 + x − 3) = (x − 2) · ex
f′(x) = 0 ⟸ x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
הסימן נקבע לפי x − 2 (כי ex > 0):
x = 0 : 0 − 2 < 0 , f′ < 0 ← יורדת
x = 3 : 3 − 2 > 0 , f′ > 0 ← עולה
f′ > 0 ← עולה, f′ < 0 ← יורדת📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקצייה עולהf′(x) < 0 ← הפונקצייה יורדת
(ב־x = 2 יש מינימום: f(2) = −e2 ≈ −7.39.)
-3-2-1123-5510xyf(x)f′(x)(3, 0)(0, −3)(2, −7.39)
✅ פתרון סופי: עלייה: x > 2
ירידה: x < 2

סעיף ה – סקיצה של g(x) = −f′(x)

y = −f(x)📐 שיקוף גרףגרף y = −f(x) הוא שיקוף של גרף y = f(x) ביחס לציר ה־x
גרף g הוא שיקוף של גרף I (הנגזרת) ביחס לציר ה־x: g(x) = (2 − x) · ex.
נקודות חשובות: חותך את ציר ה־x ב־(2 , 0) (כמו f′), חותך את ציר ה־y ב־g(0) = −f′(0) = −(−2) = 2, ומשמאל מתקרב לציר ה־x מלמעלה.
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט (בסעיף ו)

סעיף ו – השטח

שני הגרפים נפגשים כש־f′(x) = −f′(x), כלומר כש־f′(x) = 0 – ב־x = 2. השטח המוגבל גם על ידי ציר ה־y הוא בין x = 0 ל־x = 2.
בתחום הזה f′ ≤ 0, ולכן g = −f′ ≥ 0 – g למעלה ו־f′ למטה:
S = ∫20 [g(x) − f′(x)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba [f1(x) − f2(x)] dx
S = ∫20 −2f′(x) dx = −2[f(2) − f(0)]📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(2) = (2 − 3) · e2 = −e2 , f(0) = −3
S = −2(−e2 − (−3)) = −2(3 − e2) = 2e2 − 6 ≈ 8.78
-3-2-1123-55xyf′(x)g(x)(0, 2)(0, −2)(2, 0)
✅ פתרון סופי: S = 2e2 − 6 ≈ 8.78 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אגרף I
סעיף בכל x
סעיף ג(0 , −3) , (3 , 0)
סעיף דעלייה x > 2, ירידה x < 2
סעיף הסקיצה
סעיף ו2e2 − 6 ≈ 8.78
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות