בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2022 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה במרחב וסטטיסטיקה (שאלות 1–2), ופרק שני – גדילה ודעיכה וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 3–5). עונים על 3 שאלות, לפחות שאלה אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעה ו־45 דקות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד א'

שאלון 472 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – וקטורים בקובייה ומקבילית

📄 נוסח השאלהקובייה ומקבילית EFGH – שאלה 1

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ (ראו ציור). הנקודות E ו־G הן אמצעי המקצועות AA′ ו־CC′ בהתאמה. הנקודה F מקיימת AF = 14AB. הנקודה H מקיימת D′H = 34D′C′. נסמן: AB = u , BC = v , AA′ = w.

א. (1) הביעו את הווקטורים EF , FG , HG ו־EH באמצעות u , v ו־w. (2) האם המרובע EFGH הוא מקבילית? נמקו.

הנפח של הקובייה הנתונה הוא 512.

ב. (1) מצאו את אורך המקצוע של הקובייה. (2) מצאו את אורכי הווקטורים EF ו־EH.

ג. (1) מצאו את גודל הזווית HEF. (2) מצאו את שטח המרובע EFGH.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הבעת הווקטורים ומקבילית

ABCDA′B′C′D′EFGH
הקובייה לפי קנה מידה (מקצוע 8) והמרובע EFGH בתכלת; הזווית HEF מסומנת.
(1) בקובייה: A′D′ = BC = v , D′C′ = AB = u , CC′ = w; FB = 34u , HC′ = 14u.
EF = EA + AF = −12w + 14u📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
FG = FB + BC + CG = 34u + v + 12w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
HG = HC′ + C′G = 14u − 12w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
EH = EA′ + A′D′ + D′H = 12w + v + 34u📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
(2) EF = HG (וגם FG = EH): זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות ⟸ EFGH מקבילית.
✅ פתרון סופי: (1) EF = 14u − 12w , FG = 34u + v + 12w
HG = 14u − 12w , EH = 34u + v + 12w
(2) כן – EF = HG

סעיף ב – אורך המקצוע ואורכי הווקטורים

a3 = 512 a = 8📐 נפח קובייהV = a3
(2) הווקטורים u , v , w מאונכים זה לזה ואורך כל אחד 8. 14 · 8 = 2 , 12 · 8 = 4 , 34 · 8 = 6:
|EF| = √(22 + 42) = √20📐 פיתגורס במרחב|au + bv + cw|2= a2|u|2 + b2|v|2 + c2|w|2
|EH| = √(62 + 82 + 42) = √116
✅ פתרון סופי: (1) 8
(2) |EF| = √20 ≈ 4.47 , |EH| = √116 ≈ 10.77

סעיף ג – הזווית HEF ושטח המרובע

(1) מכפלה סקלרית (u·v = u·w = v·w = 0, |u|2 = 64):
EH·EF = (34u + v + 12w) ·(14u − 12w)📐 מכפלה סקלריתa·b = |a|·|b|·cos(הזווית)
= 316 · 64 − 14 · 64 = 12 − 16 = −4
cos∢HEF = −4√116 · √20 = −4√2,320 ≈ −0.0830📐 זווית בין וקטוריםcos(הזווית) = a·b|a|·|b|
∢HEF ≈ 94.76 מעלות
(2) שטח מקבילית = מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית ביניהן:
sin∢HEF = √(1 − 162,320) = √2,3042,320
S = √116 · √20 · √2,3042,320 = √2,304 = 48📐 שטח מקביליתS = a · b · sin(הזווית בין הצלעות)
✅ פתרון סופי: (1) ∢HEF ≈ 94.76 מעלות
(2) S = 48

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אEF = HG
= 14u − 12w
FG = EH
= 34u + v + 12w
כן
סעיף ב8
√20 , √116
סעיף ג94.76 מעלות
48
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – רגרסיה (ציוני מתמטיקה ומדעי המחשב)

📄 נוסח השאלה

כדי לבדוק את הקשר בין ציוני בחינת הבגרות במתמטיקה (X) ובין ציוני בחינת הבגרות במדעי המחשב (Y), חושבו בשנה מסוימת הממוצעים, סטיות התקן ומקדם המתאם של הציונים בבחינות האלה. תוצאות החישובים היו: X = 64 , Y = 72 , sx = 14 , sy = 9 , r = 0.77.

א. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי הציון במדעי המחשב על פי הציון במתמטיקה.

באותה השנה דני נבחן במתמטיקה ובמדעי המחשב, והציון שקיבל במתמטיקה היה 90.

ב. על פי ישר הרגרסיה שמצאתם, מהו הציון המשוער של דני בבחינת הבגרות במדעי המחשב?

לאחר שהתברר שהבחינה במתמטיקה באותה השנה הייתה קשה, הוסיפו לכל אחד מן הציונים במתמטיקה 4 נקודות.

ג. מהי ההשפעה של התוספת לציונים על כל אחד מן הגדלים (1)–(3) (כלומר, האם הוא גדל, קטן או לא השתנה)? נמקו את תשובותיכם. (1) X (2) sx (3) r

בשנה שאחרי כן התקבלו בבחינות במתמטיקה ובמדעי המחשב אותם הממוצעים ואותן סטיות התקן כמפורט בתחילת השאלה. ידוע שמשוואת ישר הרגרסיה של הציונים בשנה זו הייתה: y = mx + 43.2.

ד. (1) מצאו את הערך של m. (2) מצאו את מקדם המתאם של הציונים בשנה זו.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – משוואת ישר הרגרסיה

b = 0.77 · 914 = 0.495📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · sysx
72 = 0.495 · 64 + a 72 = 31.68 + a a = 40.32📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(X , Y)
✅ פתרון סופי: y = 0.495x + 40.32

סעיף ב – הציון המשוער של דני

y = 0.495 · 90 + 40.32 = 44.55 + 40.32 = 84.87
✅ פתרון סופי: בערך 85

סעיף ג – השפעת התוספת של 4 נקודות

(1) כל ציון גדל ב־4, ולכן גם הממוצע גדל ב־4: X = 64 + 4 = 68 – גדל.📐 ממוצעX = x1 + x2 + … + xnn
(2) סטיית התקן מודדת את הפיזור סביב הממוצע. כל ציון וגם הממוצע זזו ב־4, ולכן המרחקים x − X לא השתנו – sx לא השתנתה.
(3) הזזה של כל הציונים לא משנה את עוצמת הקשר הלינארי ואת כיוונו (כל הנקודות בדיאגרמה זזות יחד ימינה) – r לא השתנה.
✅ פתרון סופי: (1) גדל (ב־4)
(2) לא השתנתה
(3) לא השתנה

סעיף ד – השנה שאחרי

72 = m · 64 + 43.2 64m = 28.8 m = 0.45📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(X , Y)
0.45 = r · 914 r = 0.45 · 149 = 0.7📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · sysx
✅ פתרון סופי: (1) m = 0.45
(2) r = 0.7

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אy = 0.495x + 40.32
סעיף בבערך 85
סעיף גגדל
לא השתנתה
לא השתנה
סעיף דm = 0.45
r = 0.7
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – טרנספורמציות (הזזות) ברגרסיה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – חקירת פונקציית e (מכפלה) והזזה ומתיחה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (4 − 3x) · e3x.

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x)?

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = −2 · f(x) − 1.

ה. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגה. (2) אחד מן הגרפים I–III שלפניכם מתאר את גרף הפונקצייה g(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

גרפים I, II, III – שאלה 3
✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – תחום הגדרה

פולינום ו־e3x מוגדרים לכל x.📐 תחום הגדרה של eeg(x) מוגדרת היכן ש־g מוגדרת
✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

f(0) = 4 · e0 = 4
e3x > 0 תמיד, ולכן f(x) = 0 רק כאשר:
4 − 3x = 0 x = 43
✅ פתרון סופי: (0 , 4) , (43 , 0)

סעיף ג – קיצון, עלייה וירידה

נגזרת של מכפלה: u = 4 − 3x , v = e3x.
u′ = −3📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn−1
v′ = 3e3x📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
f′(x) = −3 · e3x + (4 − 3x) · 3e3x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
= e3x · (−3 + 12 − 9x) = 9e3x(1 − x)
f′(x) = 0 ⟹ x = 1
f(1) = (4 − 3) · e3 = e3 ≈ 20.09
הסימן של f′ לפי 1 − x: חיובי עבור x < 1, שלילי עבור x > 1.
מ־+ ל־− ב־x = 1 ⟸ מקסימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
✅ פתרון סופי: (1) מקסימום (1 , e3)
(2) עולה: x < 1 ; יורדת: x > 1

סעיף ד – סקיצה

כש־x → −∞ e3x → 0 (מהר יותר ממה ש־4 − 3x גדל), ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה. כש־x → ∞ f → −∞.
xy14e³f(x)(1 , e³)4/3
הגרף של f לפי החישוב.
✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה

סעיף ה – הפונקציה g

(1) כפל ב־−2 הופך את הגרף (מקסימום ⟸ מינימום) ומותח אותו; ההזזה ב־−1 מורידה אותו ביחידה. שיעור ה־x של הקיצון לא משתנה:
g′(x) = −2f′(x) מתאפסת ב־x = 1 ומחליפה סימן מ־− ל־+📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
g(1) = −2e3 − 1 ≈ −41.17
(2) תכונות של g: כש־x → −∞ f → 0+, ולכן g → −1 מלמטה (אסימפטוטה y = −1 מתחת לציר ה־x); מינימום ב־x = 1 > 0 (מימין לציר ה־y); g(0) = −9; ואחר כך g → ∞.
• גרף I – יש לו מקסימום ✗
• גרף II – המינימום משמאל לציר ה־y ✗
• גרף III – מתקרב משמאל לקו מתחת לציר, מינימום מימין לציר ה־y ועלייה ✓
xy1−9−41.2g(x)(1 , −2e³ − 1)
הגרף של g לפי החישוב.
✅ פתרון סופי: (1) מינימום (1 , −2e3 − 1) ≈ (1 , −41.17)
(2) גרף III

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אכל x
סעיף ב(0 , 4) , (43 , 0)
סעיף גמקסימום (1 , e3)
עולה x < 1 , יורדת x > 1
סעיף דסקיצה
סעיף המינימום (1 , −2e3 − 1)
גרף III
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – חקירה עם מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית ln (חזקות של ln) ושטח מתחת לנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (ln x)3 − 3(ln x)2.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. (1) רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של פונקציית הנגזרת f′(x). (2) מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 1e, על ידי הישר x = e ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה

x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף ב – חיתוך עם ציר x

מוציאים גורם משותף (ln x)2:
(ln x)2(ln x − 3) = 0
ln x = 0 ⟹ x = 1 ln x = 3 ⟹ x = e3📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (e3 , 0)

סעיף ג – נקודות הקיצון

f′(x) = 3(ln x)2 · 1x − 6 ln x · 1x📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(g(x))n]′ = n(g(x))n−1 · g′(x)
= 3 ln x (ln x − 2)x
ln x = 0 ⟹ x = 1 ln x = 2 ⟹ x = e2📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
f(1) = 0 f(e2) = 23 − 3 · 22 = 8 − 12 = −4
xln xln x − 2f′f
0 < x < 1−−+עולה
1 < x < e2+−−יורדת
x > e2+++עולה
מקסימום ב־x = 1, מינימום ב־x = e2.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
✅ פתרון סופי: מקסימום (1 , 0) , מינימום (e2 , −4)

סעיף ד – סקיצה

כש־x → 0+ ln x → −∞ והאיבר (ln x)3 שולט, ולכן f → −∞. כש־x → ∞ f → ∞.
xye²e³−4f(x)(1 , 0)(e² , −4)
הגרף של f לפי החישוב.
✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה

סעיף ה – סימני הנגזרת והשטח

(1) מטבלת הסימנים:
f′ > 0 : 0 < x < 1 , x > e2 f′ < 0 : 1 < x < e2
(2) בין 1e ל־1 הנגזרת חיובית (שטח מעל הציר), ובין 1 ל־e שלילית (שטח מתחת לציר). הפונקציה הקדומה של f′ היא f:
xy1/e1ef′(x)
גרף הנגזרת לפי החישוב; שני חלקי השטח בתכלת (החלק השמאלי ממשיך מעל גבול הציור).
f(1e) = (−1)3 − 3 · (−1)2 = −4 f(e) = 1 − 3 = −2
S1 = ∫1/e1 f′(x)dx = f(1) − f(1e) = 0 − (−4) = 4📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
S2 = −∫1e f′(x)dx = f(1) − f(e) = 0 − (−2) = 2📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
S = 4 + 2 = 6
✅ פתרון סופי: (1) חיובית: 0 < x < 1 , x > e2 ; שלילית: 1 < x < e2
(2) S = 6

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אx > 0
סעיף ב(1 , 0) , (e3 , 0)
סעיף גמקסימום (1 , 0) , מינימום (e2 , −4)
סעיף דסקיצה
סעיף החיובית 0 < x < 1 , x > e2
שלילית 1 < x < e2
6
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – אינטגרל ln
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מנגזרת לפונקציה (e) ושטח

📄 נוסח השאלה

הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה, f′(x), מוגדרות לכל x. נתון: f′(x) = ex − e2 − x.

א. מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

נתון כי הפונקצייה f(x) חיובית לכל x.

ב. סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקצייה f(x).

ג. קבעו איזו מן האפשרויות (1)–(4) שלפניכם יכולה לתאר את הפונקצייה f(x). נמקו. (c הוא פרמטר.)
(1) f(x) = ex − e2 − x + c
(2) f(x) = ex + 12e2 − x + c
(3) f(x) = ex − 12e2 − x + c
(4) f(x) = ex + e2 − x + c

דרך נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x) העבירו אנך לציר ה־x. נתון: השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x), על ידי האנך, ועל ידי הצירים הוא e2 + e − 1.

ד. (1) מצאו את c. (2) מצאו את ערך ה־y של נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x).

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – נקודת הקיצון

ex − e2 − x = 0 ex = e2 − x
x = 2 − x x = 1📐 השוואת בסיסיםem = en ⟹ m = n
סימן הנגזרת: עבור x < 1 המעריך x קטן מ־2 − x, ולכן f′ < 0; עבור x > 1 f′ > 0.
בדיקה: f′(0) = 1 − e2 < 0 f′(2) = e2 − 1 > 0 ✓
מ־− ל־+ ב־x = 1 ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
✅ פתרון סופי: x = 1 – מינימום

סעיף ב – סקיצה אפשרית

הגרף כולו מעל ציר ה־x, יורד עד x = 1, מינימום שם, ואחר כך עולה. (בסקיצה – הפונקציה שמצא סעיף ד.)
xy13ef(x)(1 , 3e)
f(x) = eˣ + e²⁻ˣ + e לפי החישוב (c = e מסעיף ד). השטח בין x = 0 ל־x = 1 בתכלת.
✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה

סעיף ג – איזו אפשרות

גוזרים כל אפשרות ובודקים מי נותנת ex − e2 − x. הנגזרת של e2 − x היא −e2 − x:
(e2 − x)′ = −1 · e2 − x📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
(1) ex + e2 − x ✗ (2) ex − 12e2 − x ✗
(3) ex + 12e2 − x ✗ (4) ex − e2 − x ✓
✅ פתרון סופי: אפשרות (4) : f(x) = ex + e2 − x + c

סעיף ד – הפרמטר c וערך הקיצון

(1) האנך הוא x = 1. הפונקציה חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל מ־0 עד 1:
∫01(ex + e2 − x + c)dx = [ex − e2 − x + cx]01📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
= (e − e + c) − (1 − e2 + 0) = c − 1 + e2
c − 1 + e2 = e2 + e − 1 c = e
(2)
f(1) = e1 + e1 + e = 3e ≈ 8.15
✅ פתרון סופי: (1) c = e
(2) y = 3e ≈ 8.15

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אx = 1 מינימום
סעיף בסקיצה
סעיף גאפשרות (4)
סעיף דc = e
3e
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – אינטגרל שטחים e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות