חורף 2025 – שאלה 4

📅 חורף 2025, שאלה 4

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מרובע BKCD שבו KB ∥ CD. הצלע CD היא מיתר במעגל, והצלע KB משיקה למעגל בנקודה K. הצלע BD חותכת את המעגל בנקודה A. האלכסון BC חותך את המיתר AK בנקודה E.

א. הוכיחו: △ABK ∼ △AKC.

ב. הוכיחו: ABAC = BECE.

נתון: BE = CE4. ג. מצאו את היחס AKAB.

נתון: שטח המרובע ABKC הוא 30. נסמן ב־S את שטח המשולש AEB. ד. הביעו באמצעות S את שטח המשולש KEC.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – דמיון משולשים

∢AKB = ∢ACK📐 משפטהזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני – המשיק KB והמיתר KA

∢ABK = ∢ADC (החותך BD, הישרים KB ∥ CD)📐 משפטזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות

∢ADC = ∢AKC📐 משפטזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות – שתיהן נשענות על הקשת AC

∢ABK = ∢AKC

לכן △ABK ∼ △AKC, בהתאמה A ↔ A , B ↔ K , K ↔ C.📐 משפטמשפט דמיון ז.ז. – שתי זוויות שוות בהתאמה

✅ פתרון סופי: △ABK ∼ △AKC – הוכח

סעיף ב – יחס הקטעים

מהדמיון, הזווית השלישית שווה גם היא:

∢BAK = ∢KAC

כלומר AK (ולכן גם AE) חוצה את הזווית ∢BAC במשולש ABC.

ABAC = BECE📐 משפטמשפט חוצה הזווית – חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – היחס AK : AB

ABAC = BECE = 14

ABAK = AKAC = k📐 נוסחה: יחס דמיוןבמשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות שווה

ABAC = ABAK · AKAC = k²

k² = 14 ⇐ k = 12

AKAB = 1k = 2

✅ פתרון סופי: AKAB = 2

סעיף ד – שטח המשולש KEC

S_ABKS_AKC = k² = 14📐 משפטיחס שטחים של משולשים דומים – יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

האלכסון AK מחלק את המרובע ABKC לשני המשולשים:

S_ABK + S_AKC = 30

S_ABK = 6 , S_AKC = 24

למשולשים AEB ו־AEC אותו גובה מ־A לישר BC, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

S_AECS_AEB = CEBE = 4 ⇐ S_AEC = 4S📐 משפטמשולשים עם גובה משותף – יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים

S_KEC = S_AKC − S_AEC = 24 − 4S

✅ פתרון סופי: S_KEC = 24 − 4S

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	הוכחה
סעיף ג	AKAB = 2
סעיף ד	S_KEC = 24 − 4S

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025

גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

חורף 2025 – שאלה 4