גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
קיץ 2023 מועד מיוחד – שאלה 4
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
במשולש ישר הזווית ABC (∢ACB = 90) הנקודות G, H, F נמצאות על הצלעות AC, CB, AB בהתאמה.
המרובע GCHF חסום במעגל. הצלע AB משיקה למעגל בנקודה F (ראו סרטוט).
נתון: GH ∥ AB.
א. הוכיחו כי FG = FH.
ב. (1) מצאו את הזווית ACF.
(2) הוכיחו כי המשולש GFC דומה למשולש FBC.
הקוטר במעגל היוצא מן הנקודה F חותך את הצלע AC בנקודה E.
ג. הוכיחו כי ∢FEB = ∢FCB.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – FG = FH
AB משיק בנקודה F, ו־FG מיתר:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢AFG = ∢FHG
GH ∥ AB, ו־FG חותך אותם:📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות שוות
∢AFG = ∢FGH
∢FHG = ∢FGH
במשולש FGH שתי זוויות שוות, ולכן הצלעות שמולן שוות:📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות – צלעות שוות
FG = FH
✅ פתרון סופי: הוכחה
סעיף ב (1) – הזווית ACF
∢GCH = 90 היא זווית היקפית, ולכן GH הוא קוטר.📐 זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר
∢GFH = 90
המשולש GFH ישר זווית ושווה שוקיים (סעיף א):
∢FGH = ∢FHG = 180 − 902 = 45
∢ACF ו־∢GHF נשענות על אותה קשת GF:📐 זווית היקפיתזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢ACF = ∢GHF = 45
✅ פתרון סופי: ∢ACF = 45
סעיף ב (2) – דמיון המשולשים
נשווה שתי זוויות במשולשים GFC ו־FBC:
זוג ראשון: מסעיף ב(1) ∢GCF = ∢ACF = 45.
∢FCB = 90 − 45 = 45
∢GCF = ∢FCB
זוג שני: FB משיק, ו־FC מיתר:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢BFC = ∢FGC
שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים:📐 דמיון משולשיםמשפט דמיון ז.ז.
המשולש GFC דומה למשולש FBC.
✅ פתרון סופי: הוכחה
סעיף ג – שוויון הזוויות
FE עובר דרך המרכז, ו־AB משיק ב־F:📐 רדיוס ומשיקהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
∢EFB = 90
נתון:
∢ECB = 90
במרובע EFBC סכום שתי הזוויות הנגדיות F ו־C הוא 180, ולכן הוא בר־חסימה.📐 מרובע בר־חסימהסכום זוויות נגדיות 180
∢EFB + ∢ECB = 90 + 90 = 180
במעגל החוסם את EFBC: ∢FEB ו־∢FCB נשענות על אותה קשת FB:📐 זווית היקפיתזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢FEB = ∢FCB
בסרטוט (בקנה מידה): המעגל, המשולש FGH (סגול), הקטע CF (ירוק) והקוטר FE (כחול):
✅ פתרון סופי: הוכחה
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב (1) | ∢ACF = 45 |
| סעיף ב (2) | הוכחה |
| סעיף ג | הוכחה |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il