גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
קיץ 2026 מועד ב – שאלה 4
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
ABC הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל. הנקודה D נמצאת על המשך הצלע BC, כמתואר בסרטוט. הקטע AD חותך את המעגל בנקודה E.
א. הוכיחו: ∢AEB = ∢BEC = ∢CED = 60 מעלות.
ב. הוכיחו: △AEB ∼ △CED.
ג. הוכיחו: AECE = BCCD.
נתון כי שטח המשולש AEB גדול פי 2.25 משטח המשולש CED.
ד. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש ABD משטח המשולש CED.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – שלוש זוויות של 60 מעלות
∢ACB = ∢BAC = 60 מעלות (המשולש ABC שווה צלעות).📐 משולש שווה צלעותכל זווית במשולש שווה צלעות היא 60 מעלות
∢AEB: הזוויות ∢AEB ו־∢ACB הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת AB, ולכן:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
∢AEB = ∢ACB = 60
∢BEC: הזוויות ∢BEC ו־∢BAC הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת BC, ולכן:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
∢BEC = ∢BAC = 60
∢CED: הנקודות A, E, D על ישר אחד, ולכן הזוויות ∢AEB, ∢BEC, ∢CED יחד יוצרות זווית שטוחה:
∢AEB + ∢BEC + ∢CED = 180📐 זווית שטוחהזווית שטוחה היא 180 מעלות
60 + 60 + ∢CED = 180
∢CED = 180 − 120 = 60
✅ פתרון סופי: ∢AEB = ∢BEC = ∢CED = 60 מעלות ∎
סעיף ב – הוכחת הדמיון △AEB ∼ △CED
זווית ראשונה: לפי סעיף א:
∢AEB = ∢CED = 60
זווית שנייה: הנקודות A, B, C, E כולן על המעגל, ולכן ABCE הוא מרובע חסום במעגל. הזוויות ∢BAE ו־∢BCE נגדיות בו:📐 מרובע חסום במעגלסכום שתי זוויות נגדיות הוא 180 מעלות
∢BAE + ∢BCE = 180
הנקודה D על המשך BC, ולכן ∢BCE ו־∢ECD צמודות:📐 זוויות צמודותסכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות
∢ECD + ∢BCE = 180
משתי המשוואות:
∢ECD = ∢BAE
שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן המשולשים דומים. ההתאמה: A ↔ C , E ↔ E , B ↔ D.📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות בהתאמה ⇐ המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: △AEB ∼ △CED (ז.ז.) ∎
סעיף ג – הוכחת היחס
מהדמיון בסעיף ב (ההתאמה A ↔ C , E ↔ E , B ↔ D):📐 יחס צלעות במשולשים דומיםצלעות מתאימות (מול זוויות שוות) נמצאות באותו יחס – יחס הדמיון
AECE = EBED = ABCD
המשולש ABC שווה צלעות, ולכן AB = BC. נציב:📐 משולש שווה צלעותכל הצלעות שוות
AECE = BCCD
✅ פתרון סופי: AECE = BCCD ∎
סעיף ד – פי כמה שטח ABD גדול משטח CED
שלב 1 – יחס הדמיון. נתון: SAEB = 2.25 · SCED.
SAEBSCED = 2.25 = 1.52📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = (יחס הדמיון)²
יחס הדמיון הוא 1.5, ולפי סעיף ג:
AECE = BCCD = 1.5
נסמן CD = 2x. אז:
BC = 1.5 · 2x = 3x
AB = 3x
BD = BC + CD = 5x
AE = 1.5 · CE
שלב 2 – זוג משולשים דומים נוסף: △DCE ∼ △DAB.
• ∢D משותפת לשני המשולשים.
• ∢DCE = ∢ECD = ∢BAE = ∢DAB (הוכחנו בסעיף ב).
לכן המשולשים דומים, בהתאמה D ↔ D , C ↔ A , E ↔ B:📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות בהתאמה ⇐ המשולשים דומים
DCDA = CEAB = DEDB📐 יחס צלעות במשולשים דומיםצלעות מתאימות (מול זוויות שוות) נמצאות באותו יחס – יחס הדמיון
שלב 3 – נבטא את DE ואת DA באמצעות CE.
מהשוויון CEAB = DEDB:
CE3x = DE5x
DE = 5x · CE3x = 53CE
הנקודה E על הקטע AD:
DA = AE + ED
= 1.5CE + 53CE
DA = 32CE + 53CE
= 96CE + 106CE = 196CE
שלב 4 – נמצא את CE. מהשוויון DCDA = CEAB (כפל בהצלבה):
DC · AB = CE · DA
2x · 3x = CE · 196CE
6x2 = 196CE2
CE2 = 36x219
שלב 5 – יחס השטחים. המשולשים DAB ו־DCE דומים, ויחס הדמיון הוא ABCE:
SABDSCED = (ABCE)2 = AB2CE2📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = (יחס הדמיון)²
SABDSCED = 9x236x219
SABDSCED = 9x2 · 1936x2 = 17136
= 194 = 4.75
בדיקה: הסרטוט למעלה בנוי בקנה מידה בדיוק לפי הנתון (BC = 3, CD = 2); חישוב השטחים מהקואורדינטות שלו נותן יחס 2.25 בין AEB ל־CED, ויחס 4.75 בין ABD ל־CED ✓
✅ פתרון סופי: שטח המשולש ABD גדול פי 194 = 4.75 משטח המשולש CED
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה – כל זווית 60 מעלות |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה (ז.ז.) |
| סעיף ג | הוכחה |
| סעיף ד | פי 4.75 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il