גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
קיץ 2013 מועד ב – ללא מעגל
📅 קיץ 2013 מועד ב · בגרות 4 יחידות (035804), שאלה 4
מעוין, חפיפת משולשים ושטחים
📄 נוסח השאלה
במעוין ABCD הזווית החדה היא של 60.
נקודה M נמצאת על הצלע AB, ונקודה N נמצאת על הצלע BC כך ש־AM = BN (ראה ציור).
א. הוכח כי △MDB ≅ △NDC.
ב. הוכח כי △ADM ≅ △BDN.
ג. שטח המרובע DMBN הוא S. הבע באמצעות S את שטח המעוין ABCD.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – חפיפת המשולשים MDB ו־NDC
ABCD מעוין, ולכן:📐 מעויןכל הצלעות במעוין שוות
AB = BC = CD = DA
הזווית החדה היא ∢DAB, והזווית שמולה שווה לה:📐 מעוין (מקבילית)זוויות נגדיות שוות
∢BCD = ∢DAB = 60
במשולש ABD: AB = AD (צלעות המעוין), ולכן הוא שווה שוקיים:
זוויות הבסיס שוות:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢ABD = ∢ADB
סכום הזוויות במשולש ABD:📐 סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
∢ABD = ∢ADB = 180 − 602 = 60
כל זוויות המשולש ABD שוות ל־60:📐 משולש שווה זוויותמשולש שכל זוויותיו שוות הוא שווה צלעות
AD = BD = AB
באותו אופן במשולש CBD: CB = CD ו־∢BCD = 60, ולכן:
זוויות הבסיס שוות, וסכום הזוויות 180:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢CBD = ∢CDB = 180 − 602 = 60
גם המשולש CBD שווה זוויות:📐 משולש שווה זוויותמשולש שכל זוויותיו שוות הוא שווה צלעות
DB = DC = BC
נחשב את הקטעים MB ו־NC:
MB = AB − AM
NC = BC − BN
כי AB = BC צלעות המעוין, AM = BN נתון
MB = NC
נשווה את המשולשים MDB ו־NDC:
DB = DC
(הוכח, המשולש CBD שווה צלעות)
∢DBM = ∢DCN = 60
כי ∢DBM היא ∢DBA = 60, ו־∢DCN היא ∢DCB = 60
MB = NC
(הוכח)
שתי צלעות והזווית שביניהן שוות, ולכן:📐 חפיפת משולשים (צ.ז.צ)שתי צלעות והזווית שביניהן
△MDB ≅ △NDC
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב – חפיפת המשולשים ADM ו־BDN
נשווה את המשולשים ADM ו־BDN:
AD = BD
(הוכח בסעיף א, המשולש ABD שווה צלעות)
∢DAM = ∢DBN = 60
כי ∢DAM היא ∢DAB = 60, ו־∢DBN היא ∢DBC = 60, הוכח בסעיף א
AM = BN
(נתון)
שתי צלעות והזווית שביניהן שוות, ולכן:📐 חפיפת משולשים (צ.ז.צ)שתי צלעות והזווית שביניהן
△ADM ≅ △BDN
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ג – שטח המעוין באמצעות S
האלכסון DB מחלק את המרובע DMBN לשני משולשים:
S = S△DMB + S△DBN
לפי סעיף ב △BDN ≅ △ADM:📐 משולשים חופפיםלמשולשים חופפים שטחים שווים
S△DBN = S△DAM
S = S△DMB + S△DAM
המשולשים DMB ו־DAM יחד הם המשולש ABD (הנקודה M על הצלע AB):
S = S△ABD
המשולשים ABD ו־CBD שווי צלעות, וצלע כל אחד מהם שווה לצלע המעוין:
שלוש צלעות שוות בהתאמה, ולכן:📐 חפיפת משולשים (צ.צ.צ)שלוש צלעות שוות בהתאמה
△ABD ≅ △CBD
שטחיהם שווים:📐 משולשים חופפיםלמשולשים חופפים שטחים שווים
S△CBD = S△ABD = S
SABCD = S△ABD + S△CBD
SABCD = S + S = 2S
✅ פתרון סופי: SABCD = 2S
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | 2S |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il