גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
קיץ 2017 מועד א – ללא מעגל
📅 קיץ 2017 מועד א · בגרות 4 יחידות (035804), שאלה 4
טרפז ישר זווית, חפיפה ודמיון
📄 נוסח השאלה
ABCD הוא טרפז ישר זווית (∢BCD = 90, AB ∥ DC).
E היא נקודה על המשך הצלע BC כך שהקטע AE מאונך לאלכסון BD וחותך אותו בנקודה F.
AE חותך את הקטע DC בנקודה G, כמתואר בציור.
א. הוכח: ∢AEB = ∢BDC.
נתון כי DC = BE.
ב. הוכח: △DCB ≅ △EBA.
נתון גם: CB = 4CE.
ג. (1) הוכח: △GCE ∼ △ABE.
(2) מצא את היחס GCAB.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – שוויון זוויות
∢BFE = 90
כי AE ⊥ BD ונפגשים בנקודה F
במשולש BFE:📐 סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
∢FEB = 180 − 90 − ∢FBE
∢FEB = 90 − ∢FBE
∢BCD = 90
(נתון)
במשולש BCD:📐 סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
∢BDC = 180 − 90 − ∢CBD
∢BDC = 90 − ∢CBD
∢FBE = ∢CBD
זו אותה זווית: F על BD, והנקודות C ו־E על הקרן BE
∢FEB = ∢BDC
והזווית ∢FEB היא הזווית ∢AEB, ולכן:
∢AEB = ∢BDC
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב – חפיפת המשולשים DCB ו־EBA
AB ∥ DC, ולכן הזוויות ∢ABC ו־∢BCD משלימות:📐 זוויות חד צדדיותבין ישרים מקבילים סכומן 180
∢ABC = 180 − ∢BCD
∢ABC = 180 − 90 = 90
∢EBA = 90
כי E על המשך BC, ולכן ∢EBA היא ∢CBA
נשווה את המשולשים DCB ו־EBA:
∢DCB = ∢EBA = 90
(נתון והוכח)
DC = EB
(נתון)
∢CDB = ∢BEA
(סעיף א)
צלע ושתי הזוויות שלידה שוות, ולכן:📐 חפיפת משולשים (ז.צ.ז)צלע ושתי הזוויות שלידה
△DCB ≅ △EBA
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ג(1) – דמיון המשולשים GCE ו־ABE
הזוויות ∢BCD ו־∢DCE צמודות (B, C, E על ישר אחד):📐 זוויות צמודותסכום זוויות צמודות 180
∢GCE = ∢DCE = 180 − 90 = 90
נשווה את המשולשים GCE ו־ABE:
∢GCE = ∢ABE = 90
(הוכח, ∢ABE = 90 בסעיף ב)
∢GEC = ∢AEB
(זווית משותפת)
שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה
△GCE ∼ △ABE
ההתאמה: G ↔ A, C ↔ B, E ↔ E
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ג(2) – היחס בין GC ל־AB
מהדמיון בסעיף ג(1):📐 יחס דמיוןGCAB = CEBE = GEAE
BE = BC + CE
BE = 4CE + CE = 5CE
(נתון CB = 4CE)
GCAB = CE5CE
GCAB = 15
✅ פתרון סופי: GCAB = 15
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג(1) | הוכחה |
| סעיף ג(2) | 15 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il