גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
קיץ 2025 מועד ב – שאלה 4
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: ∢EKO = ∢ABK.
א. הוכיחו כי △ACE ∼ △OKE.
המשך הקטע KO חותך את המיתר CB בנקודה P. נתון כי PO = 7, וכי רדיוס המעגל הוא 8.4.
ב. (1) הוכיחו כי PO הוא קטע אמצעים במשולש ABC. (2) מצאו את אורך הקטע EO.
ג. מצאו את היחס בין שטח המשולש ACE ובין שטח המשולש AOK.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – דמיון משולשים
∢ACK = ∢ABK📐 משפטזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות – שתיהן נשענות על הקשת AK
∢ACE = ∢ABK = ∢EKO
(השוויון השני נתון; ∢ACE היא אותה זווית כמו ∢ACK.)
∢AEC = ∢OEK📐 משפטזוויות קודקודיות שוות
לכן △ACE ∼ △OKE, בהתאמה A ↔ O , C ↔ K , E ↔ E.📐 משפטמשפט דמיון ז.ז. – שתי זוויות שוות בהתאמה
✅ פתרון סופי: △ACE ∼ △OKE – הוכח
סעיף ב – קטע אמצעים ואורך EO
(1) PO קטע אמצעים
מהדמיון בסעיף א, הזוויות המתאימות שוות:
∢CAE = ∢KOE
∢KOE = ∢POB (הנקודות K , O , P על ישר אחד, וגם A , O , B)📐 משפטזוויות קודקודיות שוות
∢CAB = ∢POB
אלה זוויות מתאימות בין הישרים AC ו־OP עם החותך AB, ולכן OP ∥ AC.📐 משפטזוויות מתאימות שוות ⇐ הישרים מקבילים
O אמצע AB (מרכז המעגל על הקוטר), ו־OP ∥ AC. לכן P אמצע CB, ו־PO קטע אמצעים במשולש ABC.📐 משפטקטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית
✅ פתרון סופי: הוכח
(2) אורך EO
AC = 2 · PO = 2 · 7 = 14📐 נוסחה: קטע אמצעים במשולשקטע האמצעים שווה למחצית הצלע השלישית
OK רדיוס, ולכן OK = 8.4. מהדמיון (יחס הצלעות המתאימות):
AEOE = ACOK = 148.4 = 53📐 נוסחה: יחס דמיוןבמשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות שווה
נסמן EO = x. אז AE = AO − EO = 8.4 − x:
8.4 − xx = 53
3(8.4 − x) = 5x
25.2 − 3x = 5x
8x = 25.2 ⇐ x = 3.15
✅ פתרון סופי: EO = 3.15
סעיף ג – יחס שטחים
SACESOKE = (53)2 = 259📐 נוסחה: יחס שטחים של משולשים דומיםיחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
למשולשים AOK ו־EOK יש אותו קודקוד K, והבסיסים AO ו־EO על אותו ישר – לכן אותו גובה מ־K.
SAOKSEOK = AOEO = 8.43.15 = 83📐 נוסחה: שטח משולשS = בסיס · גובה2
נבטא את שני השטחים באמצעות SOKE:
SACE = 259 SOKE
SAOK = 83 SOKE = 249 SOKE
SACESAOK = 2524
✅ פתרון סופי: SACESAOK = 2524
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב (1) | הוכחה |
| סעיף ב (2) | EO = 3.15 |
| סעיף ג | 2524 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il