גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
קיץ 2024 מועד א – שאלה 4
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
המרובע ABCD חסום במעגל. אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה F. המשיק למעגל בנקודה C חותך את המשך המיתר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: AB = CB.
א. הוכיחו: ∢EBC = 2 · ∢BDC.
נתון: AC חוצה את זווית ECD, CDCF = 74.
ב. (1) הוכיחו: AC = AD. (2) מצאו את היחס ADCD. (3) מצאו את היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש CBF.
נסמן את שטח המשולש ABF ב־S. ג. הביעו באמצעות S את שטח המשולש AEC.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחה
∢BAC = ∢BCA📐 משפטבמשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות – AB = CB
∢BDC = ∢BAC📐 משפטזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות – הקשת BC
∢EBC = ∢BAC + ∢BCA📐 משפטזווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה – במשולש ABC
∢EBC = 2 · ∢BAC = 2 · ∢BDC
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – חוצה הזווית
(1) AC = AD
∢ECA = ∢ACD (AC חוצה זווית)
∢ECA = ∢ADC📐 משפטהזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני – המשיק EC והמיתר CA
∢ACD = ∢ADC
במשולש ACD שתי זוויות שוות, ולכן AC = AD.📐 משפטמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
✅ פתרון סופי: הוכח
(2) היחס AD : CD
AB = CB, ולכן גם הקשתות AB ו־BC שוות, וההיקפיות הנשענות עליהן שוות:
∢ADB = ∢BDC, כלומר DF חוצה את הזווית ADC במשולש ACD.📐 משפטמיתרים שווים – זוויות היקפיות שוות
AFFC = ADDC📐 נוסחה: משפט חוצה הזוויתחוצה זווית מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה
נסמן CD = 7t, ואז CF = 4t. נסמן ADCD = r, כלומר AD = 7rt, וגם AC = AD = 7rt:
AF = AC − FC = 7rt − 4t
7rt − 4t4t = r
7r − 4 = 4r ⇐ r = 43
✅ פתרון סופי: ADCD = 43
(3) יחס השטחים
למשולשים ABF ו־CBF אותו גובה מ־B לישר AC:
SABFSCBF = AFFC = ADDC = 43📐 נוסחה: משולשים עם גובה משותףיחס השטחים שווה ליחס הבסיסים
✅ פתרון סופי: SABFSCBF = 43
סעיף ג – שטח המשולש AEC
SCBF = 34S ⇐ SABC = S + 34S = 74S
△EBC ∼ △ECA: הזווית E משותפת, ו־∢ECB = ∢CAB📐 משפטזווית בין משיק למיתר = זווית היקפית; משפט דמיון ז.ז.
יחס הדמיון הוא BCCA. נחשב אותו בעזרת זוויות. נסמן ∢ACD = ∢ADC = x. במשולש שווה השוקיים ACD נוריד גובה מ־A ל־CD (הוא חוצה את CD):
cos x = CD/2AC📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
(עם CD = 3s , AD = AC = 4s: cos x = 1.5s4s = 38.) DB חוצה את ∢ADC, ולכן ∢BCA = ∢BDA = x2. במשולש שווה השוקיים ABC נוריד גובה מ־B ל־AC:
cosx2 = AC/2BC ⇐ BCCA = 12cos(x/2)📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
cos2x2 = 1 + cos x2 = 1116📐 נוסחה: זווית כפולהcos(2y) = 2cos2y − 1
(BCCA)2 = 14 · 1116 = 411
SEBCSECA = 411📐 נוסחה: יחס שטחים של משולשים דומיםריבוע יחס הדמיון
SABC = SAEC − SEBC = 711SAEC
711SAEC = 74S ⇐ SAEC = 114S = 2.75S
✅ פתרון סופי: SAEC = 114S = 2.75S
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב (1) | הוכחה |
| סעיף ב (2) | ADCD = 43 |
| סעיף ב (3) | 43 |
| סעיף ג | SAEC = 2.75S |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il