גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
שיעור 15: התיכון ליתר וזווית של 30 מעלות
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 4 · קווים מיוחדים במשולש · שיעור 15
📄 דף הסבר: התיכון ליתר וזווית של 30 מעלות
התיכון ליתר, הניצב מול 30 מעלות והמשפטים ההפוכים
התיכון ליתר במשולש ישר זווית
∢C = 90 , AB היתר
CM תיכון ליתר: AM = MB ← M אמצע AB
📐 הגדרה: תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
📐 📐 משפט: במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר: CM = AM = MB = AB : 2
💡 לכן A , B , C על מעגל שמרכזו M – אמצע היתר
📐 📐 משפט הפוך: אם תיכון שווה לחצי הצלע שאליה הוא יורד ← הזווית שמולה ישרה
זווית של 30 מעלות במשולש ישר זווית
∢C = 90 , ∢A = 30
BC הוא הניצב שמול ∢A ← הצלע שמול הזווית
📐 📐 משפט: במשולש ישר זווית הניצב שמול זווית של 30 שווה לחצי היתר
BC = AB : 2 , כלומר אם BC = a אז AB = 2a ← ניצב מול 30 = חצי יתר
📐 משפט: במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר
📐 📐 משפט הפוך: במשולש ישר זווית, ניצב ששווה לחצי היתר – הזווית שמולו 30
תיכון ליתר = חצי היתר · ניצב מול 30 = חצי היתר ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: תיכון ליתר, משוואה, משולש שווה צלעות, הוכחת המשפט ההפוך ותרגיל מורכב עם גובה ליתר. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: תיכון ליתר · קל
במשולש ABC: ∢C = 90 , CM תיכון ליתר, AB = 14
מצאו את CM , AM ו־MB
מצאו את CM , AM ו־MB
∢C = 90 , CM תיכון ליתר , AB = 14 ← נתון
CM = AB : 2 ← במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר
📐 משפט: במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר
CM = 14 : 2 = 7 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
AM = MB = 14 : 2 = 7 ← M אמצע AB
📐 הגדרה: תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
✅ פתרון סופי: CM = AM = MB = 7
🟢 תרגיל 2: תיכון ליתר ומשוואה · בינוני
במשולש ABC: ∢C = 90 , CM תיכון ליתר
CM = 2x + 3 , AB = 6x − 2. מצאו את x , CM ו־AB
CM = 2x + 3 , AB = 6x − 2. מצאו את x , CM ו־AB
∢C = 90 , CM תיכון ליתר ← נתון
AB = 2 · CM ← התיכון ליתר שווה לחצי היתר
📐 משפט: במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר
6x − 2 = 2(2x + 3) ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
6x − 2 = 4x + 6 ← פותחים סוגריים
6x − 4x = 6 + 2 ⟹ 2x = 8 ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 4 ← מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
CM = 2 · 4 + 3 = 11 , AB = 6 · 4 − 2 = 22 ✔ ← מציבים x = 4 (22 = 2 · 11)
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: x = 4 , CM = 11 , AB = 22
🟣 תרגיל 3: 30 מעלות ותיכון ליתר · בינוני
במשולש ABC: ∢C = 90 , ∢A = 30 , AB = 16 , CM תיכון ליתר
הוכיחו ש־△CMB שווה צלעות ומצאו את היקפו
הוכיחו ש־△CMB שווה צלעות ומצאו את היקפו
BC = AB : 2 = 16 : 2 = 8 ← ניצב מול זווית של 30 שווה לחצי היתר
📐 משפט: במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר
CM = AB : 2 = 8 ← התיכון ליתר שווה לחצי היתר
📐 משפט: במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר
MB = AB : 2 = 8 ← M אמצע AB
📐 הגדרה: תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
∢B = 180 − 90 − 30 = 60 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
CM = MB = BC = 8 ← △CMB שווה צלעות ← שלוש צלעות שוות
📐 משפט: במשולש שווה צלעות כל זווית שווה 60 מעלות
היקף △CMB = 8 + 8 + 8 = 24 ← סכום הצלעות
✅ פתרון סופי: △CMB שווה צלעות , היקפו 24
🔷 תרגיל 4: הוכחה של המשפט ההפוך · מורכב
במשולש ABC , M אמצע AB ו־CM = AM = MB
הוכיחו: ∢ACB = 90
הוכיחו: ∢ACB = 90
CM = AM = MB ← נתון
∢A = ∢ACM = x ← △AMC שווה שוקיים (MA = MC) – זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
∢B = ∢BCM = y ← △BMC שווה שוקיים (MB = MC) – זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
∢ACB = x + y ← CM בתוך הזווית ∢ACB
📐 כלל: אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
x + y + (x + y) = 180 ⟹ 2(x + y) = 180 ← סכום הזוויות במשולש ABC
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
x + y = 90 ← מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢ACB = 90 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: הוכחנו: ∢ACB = 90
🔵 תרגיל 5: מורכב: 30 מעלות פעמיים
במשולש ABC: ∢ACB = 90 , ∢A = 30 , AB = 20
CD גובה ליתר. מצאו את BC , DB ו־AD
CD גובה ליתר. מצאו את BC , DB ו־AD
BC = AB : 2 = 20 : 2 = 10 ← ניצב מול זווית של 30 שווה לחצי היתר
📐 משפט: במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר
∢B = 180 − 90 − 30 = 60 ← סכום הזוויות במשולש ABC
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢BCD = 180 − 90 − 60 = 30 ← סכום הזוויות במשולש BCD (∢CDB = 90)
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
DB = BC : 2 = 10 : 2 = 5 ← במשולש BCD: ניצב מול 30 שווה לחצי היתר BC
📐 משפט: במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר
AD = AB − DB = 20 − 5 = 15 ← D על AB
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
✅ פתרון סופי: BC = 10 , DB = 5 , AD = 15
💡 לזכור
תיכון ליתר יוצר שני משולשים שווי שוקיים. 30 + תיכון ליתר ← משולש שווה צלעות.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il