גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
שיעור 5: משולש שווה שוקיים: זוויות הבסיס
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 2 · משולשים · שיעור 5
📄 דף הסבר: משולש שווה שוקיים: זוויות הבסיס
זוויות הבסיס שוות, המשפט ההפוך ומשולש שווה צלעות
משולש שווה שוקיים
במשולש ABC נתון AB = AC: שתי צלעות שוות – אלה השוקיים
📐 הגדרה: משולש שווה שוקיים: שתי צלעות שוות (השוקיים). הצלע השלישית היא הבסיס
BC – הבסיס. ∢A – זווית הראש. ∢B ו־∢C – זוויות הבסיס
📐 📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות (∢B = ∢C)
📐 📐 משפט הפוך: אם במשולש שתי זוויות שוות ← הצלעות שמולן שוות (המשולש שווה שוקיים)
📐 📐 משולש שווה צלעות: כל הזוויות שוות, וכל זווית 60 מעלות (ולהפך)
💡 את ההוכחה נראה בשיעור 8, בעזרת חפיפת משולשים
AB = AC ⟺ ∢B = ∢C · שווה צלעות: כל זווית 60 ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים מהקל לקשה: חישוב, משוואה, משפט הפוך, תרגיל מורכב ותרגיל הוכחה. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: זוויות הבסיס · קל
במשולש ABC נתון: AB = AC , ∢A = 40
מצאו את ∢B ואת ∢C
מצאו את ∢B ואת ∢C
AB = AC , ∢A = 40 ← נתון
∢B = ∢C ← במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
∢A + ∢B + ∢C = 180 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
40 + ∢B + ∢B = 180 ← מציבים ∢A = 40 ו־∢C = ∢B
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
2∢B = 180 − 40 = 140 ← מעבירים את 40 לאגף השני
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
∢B = 140 : 2 = 70 ← מחלקים את שני האגפים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢C = ∢B = 70 ← זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
✅ פתרון סופי: ∢B = 70 , ∢C = 70
🟢 תרגיל 2: משוואה · בינוני
במשולש ABC נתון: AB = AC , ∢B = 2x + 10 , ∢C = 3x − 20
מצאו את x ואת זוויות המשולש
מצאו את x ואת זוויות המשולש
AB = AC , ∢B = 2x + 10 , ∢C = 3x − 20 ← נתון
∢B = ∢C ← במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
2x + 10 = 3x − 20 ← מציבים את הנתונים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
10 + 20 = 3x − 2x ← מעבירים אגפים: x לצד אחד, מספרים לצד השני
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 30 ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
∢B = 2 · 30 + 10 = 70 ← מציבים x = 30
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢C = 3 · 30 − 20 = 70 ✔ ← מציבים x = 30 (יצא שווה ל־∢B)
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢A = 180 − 70 − 70 = 40 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: x = 30 , ∢B = ∢C = 70 , ∢A = 40
🟣 תרגיל 3: משפט הפוך · בינוני
במשולש ABC נתון: ∢A = 80 , ∢B = 50 , AB = 7
מצאו את AC
מצאו את AC
∢A = 80 , ∢B = 50 , AB = 7 ← נתון
∢C = 180 − 80 − 50 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢C = 50 ← חישוב
∢B = ∢C = 50 ← שתי זוויות שוות
AB = AC ← אם במשולש שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
📐 משפט הפוך: אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות) ∢B = ∢C ⟹ AB = AC
AC = 7 ← מציבים AB = 7
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: AC = 7 (המשולש שווה שוקיים)
🔷 תרגיל 4: מורכב: שווה צלעות + שווה שוקיים
ABC משולש שווה צלעות. D על המשך BC כך ש־CD = CA
מצאו את ∢CAD ואת ∢BAD
מצאו את ∢CAD ואת ∢BAD
△ABC שווה צלעות , CD = CA ← נתון
∢ACB = 60 ← במשולש שווה צלעות כל זווית 60 מעלות
📐 משפט: במשולש שווה צלעות כל זווית שווה 60 מעלות
∢ACD = 180 − 60 = 120 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
△ACD שווה שוקיים: CA = CD ← נתון
📐 הגדרה: משולש שווה שוקיים: שתי צלעות שוות (השוקיים). הצלע השלישית היא הבסיס
∢CAD = ∢D ← במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
2∢CAD = 180 − 120 = 60 ← סכום הזוויות במשולש ACD
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢CAD = 60 : 2 = 30 ← מחלקים את שני האגפים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢BAC = 60 ← במשולש שווה צלעות כל זווית 60 מעלות
📐 משפט: במשולש שווה צלעות כל זווית שווה 60 מעלות
∢BAD = 60 + 30 = 90 ← הקרן AC בתוך הזווית ∢BAD
📐 כלל: אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
✅ פתרון סופי: ∢CAD = 30 , ∢BAD = 90
🔵 תרגיל 5: הוכחה · מורכב
במשולש ABC נתון AB = AC. הישר DE מקביל ל־BC (D על AB , E על AC)
הוכיחו: AD = AE
הוכיחו: AD = AE
AB = AC , DE ∥ BC ← נתון
∢ADE = ∢B ← בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
∢AED = ∢C ← בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
∢B = ∢C ← במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
∢ADE = ∢AED ← שלוש השורות הקודמות (כלל המעבר)
AD = AE ← במשולש ADE שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
📐 משפט הפוך: אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות) ∢B = ∢C ⟹ AB = AC
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AD = AE (גם המשולש ADE שווה שוקיים)
💡 לזכור
לפני שמשתמשים במשפט – בודקים מול איזו צלע כל זווית נמצאת. זוויות הבסיס הן הזוויות שמול השוקיים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il