גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
שיעור 14: קטע אמצעים במשולש
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 4 · קווים מיוחדים במשולש · שיעור 14
📄 דף הסבר: קטע אמצעים במשולש
קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה, והמשפט ההפוך
קטע אמצעים במשולש
D אמצע AB , E אמצע AC
הקטע DE מחבר אמצעים של שתי צלעות – קטע אמצעים
📐 📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית: DE ∥ BC
📐 📐 ושווה לחצי ממנה: DE = BC : 2
📐 📐 משפט הפוך: ישר שיוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה – חוצה את הצלע השלישית
DE ∥ BC , DE = BC : 2 · ישר מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה – חוצה את השלישית ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: משוואה, משולש האמצעים, משפט הפוך, זוויות ותרגיל מורכב על מרובע האמצעים. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: קטע אמצעים ומשוואה · קל
D ו־E אמצעי הצלעות AB ו־AC
DE = 3x + 1 , BC = 4x + 12. מצאו את x , DE ו־BC
DE = 3x + 1 , BC = 4x + 12. מצאו את x , DE ו־BC
D , E אמצעי הצלעות ← נתון
DE = BC : 2 ⟹ BC = 2 · DE ← קטע אמצעים שווה לחצי הצלע השלישית
📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה DE ∥ BC , DE = BC : 2
4x + 12 = 2(3x + 1) ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
4x + 12 = 6x + 2 ← פותחים סוגריים
12 − 2 = 6x − 4x ⟹ 10 = 2x ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 5 ← מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
DE = 3 · 5 + 1 = 16 , BC = 4 · 5 + 12 = 32 ✔ ← מציבים x = 5 (32 = 2 · 16)
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: x = 5 , DE = 16 , BC = 32
🟢 תרגיל 2: משולש האמצעים · קל
במשולש ABC: AB = 10 , AC = 12 , BC = 14
D , E , F אמצעי הצלעות. מצאו את היקף המשולש DEF
D , E , F אמצעי הצלעות. מצאו את היקף המשולש DEF
DE = BC : 2 = 14 : 2 = 7 ← קטע אמצעים שווה לחצי הצלע השלישית
📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה DE ∥ BC , DE = BC : 2
EF = AB : 2 = 10 : 2 = 5 ← קטע אמצעים שווה לחצי הצלע השלישית
📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה DE ∥ BC , DE = BC : 2
DF = AC : 2 = 12 : 2 = 6 ← קטע אמצעים שווה לחצי הצלע השלישית
📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה DE ∥ BC , DE = BC : 2
היקף △DEF = 7 + 5 + 6 = 18 ← סכום הצלעות
💡 היקף משולש האמצעים הוא תמיד חצי מהיקף המשולש: 36 : 2 = 18
✅ פתרון סופי: היקף המשולש DEF הוא 18
🟣 תרגיל 3: משפט הפוך · בינוני
D אמצע AB. דרך D מעבירים ישר מקביל ל־BC, החותך את AC ב־E
נתון: AC = 18 , BC = 20. מצאו את AE ואת DE
נתון: AC = 18 , BC = 20. מצאו את AE ואת DE
AD = DB , DE ∥ BC , AC = 18 , BC = 20 ← נתון
E אמצע AC ← ישר מאמצע צלע, מקביל לצלע שנייה, חוצה את השלישית
📐 משפט הפוך: ישר שיוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית
AE = 18 : 2 = 9 ← E אמצע AC
DE קטע אמצעים ← D ו־E אמצעי צלעות
DE = 20 : 2 = 10 ← קטע אמצעים שווה לחצי הצלע השלישית
📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה DE ∥ BC , DE = BC : 2
✅ פתרון סופי: AE = 9 , DE = 10
🔷 תרגיל 4: קטע אמצעים וזוויות · קל
DE קטע אמצעים במשולש ABC (D על AB , E על AC). נתון: ∢B = 50 , ∢C = 70
מצאו את זוויות המשולש ADE
מצאו את זוויות המשולש ADE
DE ∥ BC ← קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית
📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה DE ∥ BC , DE = BC : 2
∢ADE = ∢B = 50 ← בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
∢AED = ∢C = 70 ← בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
∢A = 180 − 50 − 70 = 60 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: ∢ADE = 50 , ∢AED = 70 , ∢A = 60
🔵 תרגיל 5: מורכב: מרובע האמצעים
K , L , M , N אמצעי הצלעות של המרובע ABCD. נתון: AC = 10 , BD = 8
הוכיחו: KL ∥ NM ו־KL = NM , ומצאו את היקף KLMN
הוכיחו: KL ∥ NM ו־KL = NM , ומצאו את היקף KLMN
מעבירים את האלכסון AC: הוא מחלק את המרובע לשני משולשים
ב־△ABC: KL ∥ AC , KL = AC : 2 = 5 ← קטע אמצעים במשולש ABC
📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה DE ∥ BC , DE = BC : 2
ב־△ADC: NM ∥ AC , NM = AC : 2 = 5 ← קטע אמצעים במשולש ADC
📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה DE ∥ BC , DE = BC : 2
KL ∥ NM , KL = NM ← שניהם מקבילים ל־AC ושווים לחציו
באותו אופן עם BD: LM = KN = 8 : 2 = 4 ← קטעי אמצעים במשולשים BCD ו־ABD
📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה DE ∥ BC , DE = BC : 2
היקף KLMN = 5 + 4 + 5 + 4 = 18 ← סכום הצלעות
💡 היקף מרובע האמצעים = סכום האלכסונים: 10 + 8 = 18
✅ פתרון סופי: KL ∥ NM , KL = NM = 5 , היקף KLMN = 18
💡 לזכור
במרובע: אלכסון יוצר שני משולשים – ובכל אחד מהם קטע אמצעים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il