גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
קיץ 2011 מועד ב – ללא מעגל
📅 קיץ 2011 מועד ב · בגרות 4 יחידות (035804), שאלה 4
תיכון, קטע אמצעים וחפיפת משולשים
📄 נוסח השאלה
AE הוא תיכון לצלע BC במשולש ABC.
A'E' הוא תיכון לצלע B'C' במשולש A'B'C'.
נתון: AB = A'B', AC = A'C', AE = A'E'.
המשיכו את הצלע BA עד D כך ש־AD = AB, והמשיכו את הצלע B'A' עד D' כך ש־A'D' = A'B'.
א. נמק מדוע AE ∥ DC.
ב. הוכח כי △ADC ≅ △A'D'C'.
ג. הוכח כי △ABC ≅ △A'B'C'.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – קטע אמצעים
AD = AB
(נתון)
ולכן A היא אמצע הקטע BD.
BE = EC
כי AE תיכון לצלע BC
ולכן E היא אמצע הצלע BC.
במשולש BDC הקטע AE מחבר את אמצעי שתי הצלעות BD ו־BC, ולכן הוא קטע אמצעים:
קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית:📐 קטע אמצעים במשולשמקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה
AE ∥ DC
AE = DC2
✅ פתרון סופי: AE ∥ DC כי AE קטע אמצעים במשולש BDC
סעיף ב – חפיפת המשולשים ADC ו־A'D'C'
בסעיף א מצאנו:
DC = 2AE
באותו אופן במשולש B'D'C': A' אמצע B'D' (כי A'D' = A'B') ו־E' אמצע B'C' (כי A'E' תיכון):
A'E' קטע אמצעים במשולש B'D'C':📐 קטע אמצעים במשולשמקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה
D'C' = 2A'E'
נתון AE = A'E', ולכן:
DC = D'C'
נשווה את המשולשים ADC ו־A'D'C':
AD = A'D'
כי AD = AB = A'B' = A'D' (נתון)
AC = A'C'
(נתון)
DC = D'C'
(הוכח)
שלוש צלעות שוות בהתאמה, ולכן:📐 חפיפת משולשים (צ.צ.צ)שלוש צלעות שוות בהתאמה
△ADC ≅ △A'D'C'
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ג – חפיפת המשולשים ABC ו־A'B'C'
מהחפיפה בסעיף ב:📐 משולשים חופפיםבמשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
∢DAC = ∢D'A'C'
הנקודות B, A, D על ישר אחד:
הזוויות ∢BAC ו־∢DAC צמודות:📐 זוויות צמודותסכום זוויות צמודות 180
∢BAC = 180 − ∢DAC
באותו אופן (B', A', D' על ישר אחד):
∢B'A'C' = 180 − ∢D'A'C'
∢BAC = ∢B'A'C'
נשווה את המשולשים ABC ו־A'B'C':
AB = A'B'
(נתון)
∢BAC = ∢B'A'C'
(הוכח)
AC = A'C'
(נתון)
שתי צלעות והזווית שביניהן שוות, ולכן:📐 חפיפת משולשים (צ.ז.צ)שתי צלעות והזווית שביניהן
△ABC ≅ △A'B'C'
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | נימוק: קטע אמצעים |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il