גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
חורף 2017 – מעגל
📅 חורף 2017 · בגרות 4 יחידות (035804), שאלה 4
דלתון חסום במעגל
📄 נוסח השאלה
נתון דלתון ABCD (AB = AD, BC = DC) החסום במעגל שמרכזו O, כמתואר בציור.
נתון: ∢BCD = 60.
א. (1) הוכח: ∢ABC = ∢ADC = 90.
(2) הוכח: △ABO הוא משולש שווה צלעות.
ב. הוכח: המרובע ABOD הוא מעוין.
ג. נתון: AB = 5 ס"מ. מצא את BC.
ד. הראה ש־△ABO ∼ △BCD.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א(1) – שתי זוויות ישרות
AB = AD ו־BC = DC (נתון), והצלע AC משותפת למשולשים ABC ו־ADC:
שלוש צלעות שוות בהתאמה, ולכן:📐 חפיפת משולשים (צ.צ.צ)שלוש צלעות שוות בהתאמה
△ABC ≅ △ADC
במשולשים חופפים הזוויות המתאימות שוות:
∢ABC = ∢ADC
המרובע ABCD חסום במעגל:📐 מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות 180
∢ABC + ∢ADC = 180
2∢ABC = 180
∢ABC = ∢ADC = 90
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף א(2) – המשולש ABO שווה צלעות
∢ABC = 90 היא זווית היקפית הנשענת על המיתר AC:📐 זווית היקפית ישרהנשענת על קוטר
לכן AC קוטר, והמרכז O הוא אמצע AC.
במרובע החסום ABCD:📐 מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות 180
∢BAD = 180 − ∢BCD
∢BAD = 180 − 60 = 120
מהחפיפה בסעיף א(1): ∢BAC = ∢DAC (זוויות מתאימות), כלומר AC חוצה את ∢BAD:
∢BAO = 1202 = 60
OA = OB (רדיוסים), ולכן המשולש ABO שווה שוקיים:
זוויות הבסיס שוות:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢OBA = ∢OAB = 60
סכום הזוויות במשולש ABO:📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢AOB = 180 − 60 − 60 = 60
כל שלוש הזוויות שוות 60, ולכן:📐 משולש שווה צלעותמשולש שכל זוויותיו שוות הוא שווה צלעות
AB = BO = OA
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב – המרובע ABOD מעוין
באותו אופן במשולש ADO: OA = OD (רדיוסים) ו־∢DAO = ∢DAC = 60 (AC חוצה את ∢BAD).
המשולש שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢ODA = ∢OAD = 60
סכום הזוויות במשולש ADO:📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢AOD = 180 − 60 − 60 = 60
לכן גם המשולש ADO שווה צלעות:📐 משולש שווה צלעותמשולש שכל זוויותיו שוות הוא שווה צלעות
AD = DO = OA
יחד עם AB = BO = OA (סעיף א(2)):
AB = BO = OD = DA
במרובע ABOD כל ארבע הצלעות שוות:📐 מעויןמרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ג – אורך הצלע BC
המשולש ABO שווה צלעות (סעיף א(2)):
AO = AB = 5
AC קוטר ו־O אמצעו (סעיף א(2)):
AC = 2 · AO = 2 · 5 = 10
במשולש ABC ישר הזווית (∢ABC = 90):📐 משפט פיתגורסAB2 + BC2 = AC2
52 + BC2 = 102
25 + BC2 = 100
BC2 = 75
BC = √75 = 5√3 ≈ 8.66
✅ פתרון סופי: BC = 5√3 ≈ 8.66 ס"מ
סעיף ד – דמיון המשולשים ABO ו־BCD
BC = DC (נתון), ולכן המשולש BCD שווה שוקיים:
זוויות הבסיס שוות:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢CBD = ∢CDB
סכום הזוויות במשולש BCD:📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢CBD = ∢CDB = 180 − 602 = 60
כל זוויות המשולש BCD שוות 60, וגם כל זוויות המשולש ABO שוות 60 (סעיף א(2)).
שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה
△ABO ∼ △BCD
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א(1) | הוכחה |
|---|---|
| סעיף א(2) | הוכחה |
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | BC = 5√3 ≈ 8.66 ס"מ |
| סעיף ד | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il