גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
שיעור 12: תיכונים: נקודת מפגש, יחס 2 : 1 ושטחים
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 4 · קווים מיוחדים במשולש · שיעור 12
📄 דף הסבר: תיכונים: נקודת מפגש, יחס 2 : 1 ושטחים
מפגש התיכונים, יחס 2 : 1 ושני משולשים שווי שטח
התיכונים במשולש
AM תיכון: M אמצע BC ← תיכון: מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
📐 הגדרה: תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
BN תיכון: N אמצע AC ← תיכון
📐 הגדרה: תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
CK תיכון: K אמצע AB ← תיכון
📐 הגדרה: תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
📐 📐 משפט: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת G (מפגש התיכונים)
📐 📐 משפט: G מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 – החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2
AG = 2k , GM = k , AM = 3k ← יחס 2 : 1
📐 משפט: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2) AG : GM = 2 : 1
התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
מורידים גובה AH ל־BC ← קו עזר
📐 הגדרה: גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו
S(ABM) = BM · AH : 2 ← שטח משולש: צלע כפול הגובה אליה, חלקי 2
📐 נוסחה: שטח משולש S = (צלע · הגובה אליה) : 2
S(AMC) = MC · AH : 2 ← שטח משולש: אותו גובה AH
📐 נוסחה: שטח משולש S = (צלע · הגובה אליה) : 2
BM = MC ← S(ABM) = S(AMC) ← M אמצע BC: בסיסים שווים ואותו גובה
📐 כלל: משולשים עם בסיסים שווים ואותו גובה – שטחים שווים. אותו גובה ← יחס השטחים = יחס הבסיסים
📐 📐 משפט: התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
AG : GM = 2 : 1 · התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח ✅
✏️ תרגילים
ארבעה תרגילים: יחס 2 : 1 בשני כיוונים, שטחים ותרגיל מורכב עם חפיפה. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: יחס 2 : 1 · קל
AM תיכון במשולש ABC, ו־G מפגש התיכונים. נתון: AM = 12
מצאו את AG ואת GM
מצאו את AG ואת GM
AM = 12 , G מפגש התיכונים ← נתון
AG : GM = 2 : 1 ← מפגש התיכונים מחלק כל תיכון ביחס 2 : 1
📐 משפט: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2) AG : GM = 2 : 1
AG = 2k , GM = k ← כותבים יחס בעזרת k
📐 כלל: יחס: אם a : b = 2 : 3 כותבים a = 2k , b = 3k
2k + k = 12 ← AG + GM = AM
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
3k = 12 ⟹ k = 4 ← כינוס ומחלקים ב־3
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
AG = 2 · 4 = 8 ← מציבים k = 4
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
GM = 4 ← מציבים k = 4
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: AG = 8 , GM = 4
🟢 תרגיל 2: מהחלק לתיכון כולו · קל
BN תיכון במשולש ABC, ו־G מפגש התיכונים. נתון: BG = 10
מצאו את GN ואת אורך התיכון BN
מצאו את GN ואת אורך התיכון BN
BG = 10 ← נתון
BG : GN = 2 : 1 ← מפגש התיכונים מחלק כל תיכון ביחס 2 : 1
📐 משפט: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2) AG : GM = 2 : 1
GN = BG : 2 = 10 : 2 = 5 ← BG גדול פי 2 מ־GN
BN = BG + GN = 10 + 5 = 15 ← G על הקטע BN
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
✅ פתרון סופי: GN = 5 , BN = 15
🟣 תרגיל 3: שטחים · בינוני
AM תיכון במשולש ABC ו־G מפגש התיכונים. שטח המשולש ABC הוא 48
מצאו את שטח המשולש ABM ואת שטח המשולש BGM
מצאו את שטח המשולש ABM ואת שטח המשולש BGM
S(ABC) = 48 , AM תיכון ← נתון
S(ABM) = S(AMC) = 48 : 2 = 24 ← התיכון מחלק לשני משולשים שווי שטח
📐 משפט: התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
GM = AM : 3 ← מפגש התיכונים: AG : GM = 2 : 1
📐 משפט: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2) AG : GM = 2 : 1
למשולשים BGM ו־BAM אותו גובה מ־B לישר AM ← הבסיסים על אותו ישר
S(BGM) = S(ABM) : 3 = 24 : 3 = 8 ← אותו גובה ← יחס השטחים = יחס הבסיסים GM : AM = 1 : 3
📐 כלל: משולשים עם בסיסים שווים ואותו גובה – שטחים שווים. אותו גובה ← יחס השטחים = יחס הבסיסים
✅ פתרון סופי: S(ABM) = 24 , S(BGM) = 8
🔷 תרגיל 4: מורכב: תיכונים שווים
AM ו־BN תיכונים במשולש ABC, נחתכים בנקודה G. נתון: AM = BN
הוכיחו: AC = BC
הוכיחו: AC = BC
AM = BN , G מפגש התיכונים ← נתון
AG = AM · 2 : 3 , BG = BN · 2 : 3 ← AG = BG ← יחס 2 : 1 ושני התיכונים שווים
📐 משפט: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2) AG : GM = 2 : 1
GN = BN : 3 , GM = AM : 3 ← GN = GM ← יחס 2 : 1
📐 משפט: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2) AG : GM = 2 : 1
∢AGN = ∢BGM ← זוויות קדקודיות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
△AGN ≅ △BGM ← צ.ז.צ
📐 משפט חפיפה: צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
AN = BM ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
AC = 2 · AN , BC = 2 · BM ← N ו־M אמצעי הצלעות
📐 הגדרה: תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
AC = BC ← כפל של קטעים שווים
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AC = BC (המשולש שווה שוקיים)
💡 לזכור
G נמצאת ב"שליש" של כל תיכון, קרוב לצלע. בשטחים: אותו גובה ← משווים בסיסים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il