גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
קיץ 2014 מועד ב – מעגל
📅 קיץ 2014 מועד ב · בגרות 4 יחידות (035804), שאלה 4
משיק, ישרים מקבילים ומשולשים חופפים
📄 נוסח השאלה
משולש שווה שוקיים (קהה זווית) ABC (AB = BC) חסום במעגל.
הישר CD משיק למעגל בנקודה C.
נתון כי AD ∥ BC (ראה ציור).
א. הוכח כי משולש ACD הוא משולש שווה שוקיים.
AD חותך את המעגל בנקודה K.
הוכח:
ב. ∢CKD = ∢ABC
ג. △ABC ≅ △CKD
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – המשולש ACD שווה שוקיים
נסמן ∢BAC = x.
AB = BC (נתון), ולכן המשולש ABC שווה שוקיים:
זוויות הבסיס שוות:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢BCA = ∢BAC = x
סכום הזוויות במשולש ABC:📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢ABC = 180 − 2x
AD ∥ BC (נתון), ו־AC חותך אותם:📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות שוות
∢DAC = ∢BCA = x
CD משיק בנקודה C, ו־CA מיתר:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
∢ACD = ∢ABC = 180 − 2x
סכום הזוויות במשולש ACD:📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢ADC = 180 − x − (180 − 2x)
∢ADC = x
∢DAC = ∢ADC = x
במשולש ACD שתי זוויות שוות:📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
CA = CD
✅ פתרון סופי: הוכח ✓ (CA = CD)
סעיף ב – הוכחת שוויון הזוויות
הנקודות A, B, C, K על המעגל, ולכן ABCK מרובע חסום במעגל:
∢AKC ו־∢ABC זוויות נגדיות:📐 מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות 180
∢AKC + ∢ABC = 180
הנקודות A, K, D על ישר אחד, ולכן ∢CKD ו־∢AKC צמודות:
סכום זוויות צמודות:📐 זוויות צמודותסכומן 180
∢CKD + ∢AKC = 180
משתי המשוואות:
∢CKD = ∢ABC
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ג – חפיפת המשולשים ABC ו־CKD
נשווה את המשולשים ABC ו־CKD:
∢ABC = ∢CKD
(סעיף ב)
∢BCA = ∢KDC = x
(סעיף א: ∢BCA = x ו־∢ADC = x)
סכום הזוויות במשולש CKD:📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢KCD = 180 − (180 − 2x) − x
∢KCD = x = ∢BAC
AC = CD
(סעיף א)
הצלע AC והזוויות שלידה (∢BAC, ∢BCA) שוות לצלע CD והזוויות שלידה (∢KCD, ∢KDC):📐 חפיפת משולשים (ז.צ.ז)צלע ושתי הזוויות שלידה שוות בהתאמה
△ABC ≅ △CKD
(ההתאמה: A ↔ C, B ↔ K, C ↔ D.)
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il