גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
שיעור 20: משפט פיתגורס
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 6 · פיתגורס ודמיון · שיעור 20
📄 דף הסבר: משפט פיתגורס
a² + b² = c² , המשפט ההפוך, ושימושים במעוין ובמשולש שווה שוקיים
משפט פיתגורס
∢C = 90. הניצבים: a , b
היתר c – הצלע שמול הזווית הישרה, הארוכה ביותר
📐 📐 משפט פיתגורס: a² + b² = c²
📐 📐 משפט הפוך: אם במשולש a² + b² = c² ← הזווית שמול c ישרה
💡 מוצאים יתר: מחברים ריבועים. מוצאים ניצב: מחסרים ריבועים
a² + b² = c² · יתר: מחברים ריבועים · ניצב: מחסרים ריבועים · ולהפך: a² + b² = c² ← זווית ישרה ✅
✏️ תרגילים
שבעה תרגילים: יתר, ניצב, מעוין, גובה ושטח, משוואה ריבועית, משפט הפוך וזווית של 30. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: מציאת היתר · קל
במשולש ABC: ∢C = 90 , BC = 8 , AC = 6
מצאו את AB
מצאו את AB
AC² + BC² = AB² ← משפט פיתגורס
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
6² + 8² = AB² ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
36 + 64 = AB² ⟹ AB² = 100 ← מחשבים
AB = √100 = 10 ← שורש (אורך חיובי)
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
✅ פתרון סופי: AB = 10
🟢 תרגיל 2: מציאת ניצב · קל
במשולש ABC: ∢C = 90 , AB = 13 , AC = 5
מצאו את BC
מצאו את BC
AC² + BC² = AB² ← משפט פיתגורס
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
5² + BC² = 13² ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
25 + BC² = 169 ← מחשבים
BC² = 169 − 25 = 144 ← מעבירים אגפים
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
BC = √144 = 12 ← שורש (אורך חיובי)
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
✅ פתרון סופי: BC = 12
🟣 תרגיל 3: פיתגורס במעוין · בינוני
ABCD מעוין. אורכי האלכסונים: AC = 16 , BD = 12
מצאו את צלע המעוין ואת היקפו
מצאו את צלע המעוין ואת היקפו
AO = 16 : 2 = 8 , BO = 12 : 2 = 6 ← במעוין (מקבילית) האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
∢AOB = 90 ← במעוין האלכסונים מאונכים
📐 משפט: במעוין: האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות המעוין
AO² + BO² = AB² ← משפט פיתגורס ב־△AOB
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
8² + 6² = 64 + 36 = 100 = AB² ← מציבים ומחשבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
AB = √100 = 10 ← שורש (אורך חיובי)
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
היקף: 4 · 10 = 40 ← במעוין כל הצלעות שוות
📐 הגדרה: מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות (הוא גם מקבילית)
✅ פתרון סופי: צלע המעוין 10 , ההיקף 40
🔷 תרגיל 4: גובה ושטח בשווה שוקיים · בינוני
במשולש ABC: AB = AC = 10 , BC = 12
מצאו את הגובה AD לבסיס ואת שטח המשולש
מצאו את הגובה AD לבסיס ואת שטח המשולש
מורידים גובה AD ⊥ BC ← קו עזר
📐 הגדרה: גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו (או להמשכה)
BD = DC = 12 : 2 = 6 ← בשווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
AD² + BD² = AB² ← משפט פיתגורס ב־△ABD
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
AD² + 36 = 100 ⟹ AD² = 64 ← מציבים ומעבירים אגפים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
AD = √64 = 8 ← שורש (אורך חיובי)
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
S = BC · AD : 2 = 12 · 8 : 2 = 48 ← שטח משולש
📐 נוסחה: שטח משולש S = (צלע · הגובה אליה) : 2
✅ פתרון סופי: AD = 8 , שטח המשולש 48
🔵 תרגיל 5: משוואה ריבועית · מורכב
במשולש ישר זווית אחד הניצבים ארוך ב־7 מהשני, והיתר הוא 13
מצאו את אורכי הניצבים
מצאו את אורכי הניצבים
AC = x , BC = x + 7 ← מסמנים
x² + (x + 7)² = 13² ← משפט פיתגורס
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
x² + x² + 14x + 49 = 169 ← פותחים סוגריים: נוסחת הכפל המקוצר
📐 נוסחה: נוסחת הכפל המקוצר (a + b)² = a² + 2ab + b²
2x² + 14x − 120 = 0 ← כינוס ומעבירים אגפים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x² + 7x − 60 = 0 ← מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
(x + 12)(x − 5) = 0 ⟹ x = 5 או x = −12 ← פירוק לגורמים
📐 כלל: משוואה ריבועית: מעבירים הכול לאגף אחד ומפרקים לגורמים (או נוסחת השורשים)
x = 5 (x = −12 נפסל: אורך חיובי) ← אורך תמיד חיובי
AC = 5 , BC = 12 ✔ (25 + 144 = 169) ← מציבים x = 5
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: הניצבים: 5 ו־12
🟢 תרגיל 6: משפט הפוך · קל
במשולש ABC: AC = 7 , BC = 24 , AB = 25
האם המשולש ישר זווית? אם כן – איזו זווית ישרה?
האם המשולש ישר זווית? אם כן – איזו זווית ישרה?
AC² + BC² = 49 + 576 = 625 ← מחשבים
AB² = 25² = 625 ← מחשבים
AC² + BC² = AB² ← שני הצדדים שווים
∢C = 90 ← משפט פיתגורס ההפוך: הזווית שמול AB ישרה
📐 משפט הפוך: אם a² + b² = c² ← הזווית שמול c ישרה
✅ פתרון סופי: כן, ∢C = 90
🟣 תרגיל 7: פיתגורס + זווית 30 · מורכב
במשולש ABC: ∢C = 90 , ∢A = 30 , BC = 5
מצאו את AB ואת AC
מצאו את AB ואת AC
AB = 2 · BC = 2 · 5 = 10 ← ניצב מול זווית של 30 שווה לחצי היתר
📐 משפט: במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר
AC² + BC² = AB² ← משפט פיתגורס
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
AC² + 25 = 100 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
AC² = 75 ← מעבירים אגפים
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
AC = √75 = √(25 · 3) = 5√3 ← שורש ופירוק שורש
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
📐 כלל: פירוק שורש: מוציאים מהשורש ריבוע שלם √75 = √(25 · 3) = 5√3
✅ פתרון סופי: AB = 10 , AC = 5√3 ≈ 8.66
💡 לזכור
שלשות שכדאי לזכור: 3 , 4 , 5 · 5 , 12 , 13 · 6 , 8 , 10 · 7 , 24 , 25.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il