גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
השלמה לריבוע
הנדסה אנליטית · 4 יחידות · שאלון 471
📄 דף הסבר: השלמה לריבוע ומיקום נקודה ביחס למעגל
לפעמים משוואת המעגל לא מסודרת – בעזרת השלמה לריבוע מגיעים לצורה (x−a)²+(y−b)²=R²
השלמה לריבוע – השיטה
לוקחים את המספר שליד x (למשל −8), מחלקים ב־2 וכותבים (x−4)².
פותחים בראש: (x−4)²=x²−8x+16 – נוסף 16, ולכן מורידים 16:
x²−8x=(x−4)²−16
אותו דבר עם y.
המטרה
(x−a)²+(y−b)²=R²
אחרי ההשלמה מעבירים את המספרים שהורדנו לאגף ימין.
מיקום נקודה ביחס למעגל
מציבים את הנקודה (x,y) באגף שמאל של משוואת המעגל ומשווים ל־R²:
(x−a)²+(y−b)²=R² ← על המעגל
(x−a)²+(y−b)²>R² ← מחוץ למעגל
(x−a)²+(y−b)²<R² ← בתוך המעגל
שלביםסידור משוואת מעגל בהשלמה לריבוע
1ה־x
חצי מהמספר שליד x נכנס לסוגריים בריבוע.
2מה נוסף?
בודקים מה נוסף כשפותחים את הסוגריים – ומורידים אותו.
3ה־y
עושים אותו דבר עם y.
4מעבירים אגף
מעבירים את המספרים לאגף ימין ומקבלים R².
חצי מהמקדם ← בריבוע ← מורידים את מה שנוסף ← מעבירים אגף ← משוואת מעגל ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
מסדרים משוואת מעגל בעזרת השלמה לריבוע, ובודקים אם נקודות נמצאות בתוך המעגל, על המעגל או מחוצה לו.
🔵 דוגמה 1: סידור המשוואה x²+y²−8x+6y=11 בהשלמה לריבוע
סדר את משוואת המעגל: x²+y²−8x+6y=11
ב־x²−8x לוקחים חצי מ־−8, כלומר −4:
פותחים: (x−4)²=x²−8x+16
נוסף 16, ולכן מורידים 16.
ב־y²+6y לוקחים חצי מ־6, כלומר 3:
פותחים: (y+3)²=y²+6y+9
נוסף 9, ולכן מורידים 9.
(x−4)²−16+(y+3)²−9=11
מעבירים את 16 ואת 9 לאגף ימין:
(x−4)²+(y+3)²=11+16+9
תשובה: (x−4)²+(y+3)²=36
נתונה משוואת המעגל (x+5)²+(y−3)²=40. בדוק אם כל נקודה נמצאת בתוך המעגל, על המעגל או מחוץ למעגל.
🟢 דוגמה 2: האם הנקודה (1,2) בתוך המעגל, עליו או מחוצה לו?
הנקודה (1,2).
מציבים את הנקודה במשוואת המעגל:
(1+5)²+(2−3)²=36+1=37
37<40
תשובה: הנקודה (1,2) נמצאת בתוך המעגל
🟣 דוגמה 3: האם הנקודה (−3,9) בתוך המעגל, עליו או מחוצה לו?
הנקודה (−3,9).
מציבים את הנקודה במשוואת המעגל:
(−3+5)²+(9−3)²=4+36=40
40=40
תשובה: הנקודה (−3,9) נמצאת על המעגל
💡 לזכור
השלמה לריבוע: חצי מהמקדם בסוגריים בריבוע, ומורידים את מה שנוסף. מיקום נקודה: מציבים – שווה ל־R² על המעגל, גדול מחוץ, קטן בפנים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il