קיץ 2016 מועד ב – מעגל

פתרון בגרויות בגאומטרייה

📅 קיץ 2016 מועד ב · בגרות 4 יחידות (035804), שאלה 4
טרפז חסום, משיק ודמיון משולשים

📄 נוסח השאלה

טרפז שווה שוקיים ABCD חסום במעגל.

המשיק למעגל בנקודה C נפגש בנקודה E עם המשך האלכסון DB.

CD הוא קוטר במעגל (ראה ציור).

א. הוכח: △DAC ∼ △ECD.

ב. נתון: AC = 25 ס"מ, DE = 36 ס"מ. חשב את רדיוס המעגל.

ג. חשב את שטח המשולש DAC.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – דמיון המשולשים DAC ו־ECD

CD קוטר, ו־∢DAC זווית היקפית הנשענת עליו:📐 זווית היקפית הנשענת על קוטרשווה 90

∢DAC = 90

CE משיק בנקודה C, ו־CD קוטר:📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס (לקוטר) בנקודת ההשקה

∢ECD = 90

ABCD טרפז שווה שוקיים (נתון), ולכן השוקיים שוות: AD = BC.

AD ו־BC מיתרים שווים במעגל:📐 מיתרים שוויםזוויות היקפיות הנשענות על מיתרים שווים שוות

∢ACD = ∢BDC

B על הקטע DE, ולכן ∢BDC = ∢EDC:

∢ACD = ∢CDE

נשווה את המשולשים DAC ו־ECD:

∢DAC = ∢ECD = 90

∢ACD = ∢CDE

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה

△DAC ∼ △ECD

(ההתאמה: D ↔ E, A ↔ C, C ↔ D.)

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף ב – רדיוס המעגל

מהדמיון בסעיף א, יחס הצלעות המתאימות:📐 יחס דמיוןDAEC = ACCD = DCED

ACCD = CDDE

כפל בהצלבה:

CD² = AC · DE

CD² = 25 · 36 = 900

CD = 30

CD קוטר, והרדיוס הוא חצי מהקוטר:

R = 302 = 15

✅ פתרון סופי: R = 15 ס"מ

סעיף ג – שטח המשולש DAC

במשולש DAC ישר הזווית (∢DAC = 90, סעיף א):📐 משפט פיתגורסAD² + AC² = CD²

AD² + 25² = 30²

AD² = 900 − 625 = 275

AD = √275 = 5√11 ≈ 16.58

הניצבים הם גובה ובסיס:📐 שטח משולש ישר זוויתמכפלת הניצבים חלקי 2

S = AD · AC2 = 5√11 · 252

S = 62.5√11 ≈ 207.3

✅ פתרון סופי: S ≈ 207.3 סמ"ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	R = 15 ס"מ
סעיף ג	S = 62.5√11 ≈ 207.3 סמ"ר

גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים