גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
שיעור 11: חפיפת משולשים: משפט צ.צ.ז
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 3 · חפיפת משולשים · שיעור 11
📄 דף הסבר: חפיפת משולשים: משפט צ.צ.ז
שתי צלעות והזווית שמול הגדולה, ומשולשים ישרי זווית
חפיפת משולשים: צ.צ.ז
AC = DF ← צלע
BC = EF , והיא הגדולה מבין השתיים (BC > AC) ← צלע – הגדולה
∢A = ∢D – הזווית שמול הצלע הגדולה BC ← זווית
📐 📐 משפט חפיפה צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן ← חופפים
△ABC ≅ △DEF ← צ.צ.ז
📐 משפט חפיפה: צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
💡 מקרה חשוב: במשולשים ישרי זווית מספיק יתר + ניצב (הזווית הישרה תמיד מול היתר, הצלע הגדולה)
📐 מקרה פרטי: במשולשים ישרי זווית: יתר + ניצב שווים ← חופפים (צ.צ.ז: הזווית הישרה נמצאת מול היתר, הצלע הגדולה)
צ.צ.ז: שתי צלעות + הזווית שמול הגדולה ← חופפים · ישרי זווית: יתר + ניצב ✅
✏️ תרגילים
ארבעה תרגילים: יתר וניצב עם משוואה, צ.צ.ז עם משוואה, הוכחה בשווה שוקיים והוכחה מורכבת עם גבהים. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: יתר וניצב + משוואה · קל
∢B = ∢E = 90 , AC = DF (יתר) , AB = DE (ניצב)
BC = 2y + 1 , EF = y + 6. מצאו את y ואת BC
BC = 2y + 1 , EF = y + 6. מצאו את y ואת BC
∢B = ∢E = 90 , AC = DF , AB = DE ← נתון
△ABC ≅ △DEF ← צ.צ.ז: יתר וניצב (הזווית הישרה מול היתר)
📐 משפט חפיפה: צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
📐 מקרה פרטי: במשולשים ישרי זווית: יתר + ניצב שווים ← חופפים (צ.צ.ז: הזווית הישרה נמצאת מול היתר, הצלע הגדולה)
BC = EF ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
2y + 1 = y + 6 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
2y − y = 6 − 1 ⟹ y = 5 ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
BC = 2 · 5 + 1 = 11 , EF = 5 + 6 = 11 ✔ ← מציבים y = 5
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: y = 5 , BC = 11
🟢 תרגיל 2: צ.צ.ז · בינוני
נתון: AB = DE = 8 , AC = DF = 5 , ∢C = ∢F = 70
∢A = 3x + 2 , ∢D = 2x + 26. מצאו את x , ∢A ו־∢B
∢A = 3x + 2 , ∢D = 2x + 26. מצאו את x , ∢A ו־∢B
AB = DE = 8 , AC = DF = 5 , ∢C = ∢F ← נתון
∢C נמצאת מול AB , ו־8 > 5 ← הזווית נמצאת מול הצלע הגדולה – אפשר צ.צ.ז
△ABC ≅ △DEF ← צ.צ.ז
📐 משפט חפיפה: צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
∢A = ∢D ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
3x + 2 = 2x + 26 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
3x − 2x = 26 − 2 ⟹ x = 24 ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
∢A = 3 · 24 + 2 = 74 ← מציבים x = 24
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢B = 180 − 74 − 70 = 36 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: x = 24 , ∢A = 74 , ∢B = 36
🟣 תרגיל 3: יתר וניצב בשווה שוקיים · בינוני
במשולש ABC: AB = AC , ו־AD גובה לבסיס BC
הוכיחו: BD = DC (הגובה לבסיס הוא גם תיכון)
הוכיחו: BD = DC (הגובה לבסיס הוא גם תיכון)
AB = AC ← נתון – אלה היתרים במשולשים ABD ו־ACD
∢ADB = ∢ADC = 90 ← AD גובה
📐 הגדרה: גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו
AD = AD ← ניצב משותף
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ABD ≅ △ACD ← צ.צ.ז: יתר וניצב
📐 משפט חפיפה: צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
📐 מקרה פרטי: במשולשים ישרי זווית: יתר + ניצב שווים ← חופפים (צ.צ.ז: הזווית הישרה נמצאת מול היתר, הצלע הגדולה)
BD = DC ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: BD = DC
🔷 תרגיל 4: מורכב: גבהים שווים
במשולש ABC: BD ⊥ AC , CE ⊥ AB , ונתון BD = CE
הוכיחו: AB = AC
הוכיחו: AB = AC
מסתכלים על המשולשים ישרי הזווית BEC ו־CDB
∢BEC = ∢CDB = 90 ← CE ו־BD גבהים
📐 הגדרה: גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו
BC = CB ← יתר משותף
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
CE = BD ← נתון (ניצב)
△BEC ≅ △CDB ← צ.צ.ז: יתר וניצב
📐 משפט חפיפה: צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
📐 מקרה פרטי: במשולשים ישרי זווית: יתר + ניצב שווים ← חופפים (צ.צ.ז: הזווית הישרה נמצאת מול היתר, הצלע הגדולה)
∢EBC = ∢DCB , כלומר ∢B = ∢C ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
AB = AC ← במשולש ABC שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
📐 משפט הפוך: אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות) ∢B = ∢C ⟹ AB = AC
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB = AC
💡 לזכור
ארבעת משפטי החפיפה: צ.ז.צ , ז.צ.ז , צ.צ.צ , צ.צ.ז. לפני שכותבים – בודקים שהזווית במקום הנכון.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il