גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
חורף 2014 – מעגל
📅 חורף 2014 · בגרות 4 יחידות (035804), שאלה 4
שני משיקים וקוטר
📄 נוסח השאלה
CB ו־CD הם שני משיקים למעגל.
AB הוא קוטר במעגל זה.
המשך AD והמשך BC נפגשים בנקודה E (ראה ציור).
א. הוכח כי ∢DCB = 2∢E.
ב. הוכח כי BD2 = AD · DE.
ג. הוכח כי DC הוא תיכון במשולש BDE.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחת הקשר בין הזוויות
AB קוטר, ו־CB משיק בנקודה B:📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס (לקוטר) בנקודת ההשקה
∢ABE = 90
∢ADB זווית היקפית הנשענת על הקוטר AB:📐 זווית היקפית הנשענת על קוטרשווה 90
∢ADB = 90
הנקודות A, D, E על ישר אחד:
∢BDE צמודה ל־∢ADB:📐 זוויות צמודותסכומן 180
∢BDE = 180 − 90 = 90
סכום הזוויות במשולש BDE:📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢DBE = 90 − ∢E
CB ו־CD משיקים היוצאים מהנקודה C:📐 שני משיקים מנקודה אחתקטעי המשיקים שווים
CB = CD
לכן המשולש BCD שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢CDB = ∢CBD
C על הקטע BE, ולכן ∢CBD = ∢DBE:
∢CDB = ∢CBD = 90 − ∢E
סכום הזוויות במשולש BCD:📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢DCB = 180 − 2(90 − ∢E)
∢DCB = 180 − 180 + 2∢E
∢DCB = 2∢E
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב – דמיון משולשים ומכפלת קטעים
נשווה את המשולשים ADB ו־BDE:
∢ADB = ∢BDE = 90
(סעיף א)
סכום הזוויות במשולש ABE (∢ABE = 90):📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢BAD = 90 − ∢E
∢BAD = ∢DBE = 90 − ∢E
(סעיף א)
שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה
△ADB ∼ △BDE
(ההתאמה: A ↔ B, D ↔ D, B ↔ E.)
יחס הצלעות המתאימות:📐 יחס דמיוןADBD = DBDE = ABBE
ADBD = BDDE
כפל בהצלבה:
BD2 = AD · DE
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ג – DC תיכון במשולש BDE
∢CDB = 90 − ∢E
(סעיף א)
∢CDE היא חלק מ־∢BDE = 90:
∢CDE = 90 − ∢CDB
∢CDE = 90 − (90 − ∢E)
∢CDE = ∢E
במשולש CDE שתי זוויות שוות:📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
CD = CE
וגם CD = CB (סעיף א, שני משיקים מנקודה אחת), ולכן:
CB = CE
C אמצע הצלע BE, ולכן:📐 תיכוןקטע המחבר קדקוד עם אמצע הצלע שמולו
DC הוא תיכון לצלע BE במשולש BDE.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il