גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
קיץ 2015 מועד א – מעגל
📅 קיץ 2015 מועד א · בגרות 4 יחידות (035804), שאלה 4
מרובע חסום ושני משיקים
📄 נוסח השאלה
מרובע ABCD חסום במעגל. אלכסוני המרובע נפגשים בנקודה E.
העבירו משיק למעגל בנקודה B ומשיק למעגל בנקודה C. המשיקים נפגשים בנקודה F (ראה ציור).
נתון: ∢ABC = 90.
א. (1) הוכח: ∢ADB + ∢FBC = 90.
(2) הוכח: ∢BFC = 2∢ADB.
ב. (1) הוכח: △BEC ∼ △AED.
(2) נתון גם: AE = 7, BE · DE = 21. מצא את קוטר המעגל.
הערה: הפתרון של סעיף ב אינו תלוי בפתרון של סעיף א.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א(1) – סכום שתי זוויות
∢ABC = 90 (נתון) היא זווית היקפית הנשענת על AC:📐 זווית היקפית ישרהנשענת על קוטר
לכן AC קוטר במעגל.
BF משיק בנקודה B, ו־BC מיתר:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
∢FBC = ∢BAC
∢ADB ו־∢ACB נשענות על אותה קשת AB:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢ADB = ∢ACB
סכום הזוויות במשולש ABC (∢ABC = 90):📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢BAC + ∢ACB = 90
נציב את שני השוויונות:
∢FBC + ∢ADB = 90
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף א(2) – הזווית BFC
FB ו־FC משיקים היוצאים מהנקודה F:📐 שני משיקים מנקודה אחתקטעי המשיקים שווים
FB = FC
המשולש FBC שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢FCB = ∢FBC
מסעיף א(1):
∢FBC = 90 − ∢ADB
סכום הזוויות במשולש FBC:📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180
∢BFC = 180 − 2∢FBC
∢BFC = 180 − 2(90 − ∢ADB)
∢BFC = 180 − 180 + 2∢ADB
∢BFC = 2∢ADB
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב(1) – דמיון המשולשים BEC ו־AED
∢BEC ו־∢AED:📐 זוויות קודקודיותזוויות קודקודיות שוות
∢BEC = ∢AED
∢CBD ו־∢CAD נשענות על אותה קשת CD:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢EBC = ∢EAD
שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה
△BEC ∼ △AED
(ההתאמה: B ↔ A, E ↔ E, C ↔ D.)
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב(2) – קוטר המעגל
מהדמיון בסעיף ב(1), יחס הצלעות המתאימות:📐 יחס דמיוןBEAE = ECED = BCAD
BEAE = ECED
כפל בהצלבה:
BE · ED = AE · EC
21 = 7 · EC
EC = 3
E על האלכסון AC:
AC = AE + EC = 7 + 3 = 10
∢ABC = 90 (נתון) זווית היקפית הנשענת על AC:📐 זווית היקפית ישרהנשענת על קוטר
לכן AC הוא קוטר המעגל.
✅ פתרון סופי: קוטר המעגל: AC = 10
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א(1) | הוכחה |
|---|---|
| סעיף א(2) | הוכחה |
| סעיף ב(1) | הוכחה |
| סעיף ב(2) | קוטר 10 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il