גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
שיעור 7: צלע מול זווית ואי־שוויון המשולש
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 2 · משולשים · שיעור 7
📄 דף הסבר: צלע מול זווית ואי־שוויון המשולש
מול הצלע הגדולה הזווית הגדולה, אי־שוויון המשולש והצלע השלישית
צלע מול זווית
מול כל זווית במשולש יש צלע: מול ∢A הצלע BC, מול ∢C הצלע AB, מול ∢B הצלע AC
כאן BC היא הצלע הגדולה ← ∢A (שמולה) היא הזווית הגדולה
AC היא הצלע הקטנה ← ∢B (שמולה) היא הזווית הקטנה
📐 📐 משפט: במשולש, מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר – ולהפך
אי־שוויון המשולש
הדרך הישרה מ־B ל־C קצרה יותר מהדרך שעוברת דרך A
AB + AC > BC ← הדרך דרך A ארוכה יותר
📐 📐 משפט: בכל משולש סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית
📐 📐 מסקנה: הצלע השלישית גדולה מההפרש של שתי הצלעות וקטנה מהסכום שלהן
💡 בדיקה מהירה אם אפשר לבנות משולש: מספיק לבדוק ששתי הצלעות הקטנות ביחד גדולות מהצלע הגדולה
צלע גדולה ⟺ זווית גדולה מולה · a + b > c · a − b < c < a + b ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: סידור צלעות, סידור זוויות, האם יש משולש, הצלע השלישית ותרגיל מורכב. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: מזווית לצלע · קל
במשולש ABC: ∢A = 70 , ∢B = 50
סדרו את הצלעות מהגדולה לקטנה
סדרו את הצלעות מהגדולה לקטנה
∢A = 70 , ∢B = 50 ← נתון
∢C = 180 − 70 − 50 = 60 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢A > ∢C > ∢B (70 > 60 > 50) ← משווים את הזוויות
מול ∢A (הגדולה): BC הכי גדולה ← מול הזווית הגדולה – הצלע הגדולה
📐 משפט: במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)
מול ∢C: הצלע AB באמצע ← מול הזווית הגדולה – הצלע הגדולה
📐 משפט: במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)
מול ∢B (הקטנה): AC הכי קטנה ← מול הזווית הגדולה – הצלע הגדולה
📐 משפט: במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)
✅ פתרון סופי: BC > AB > AC
🟢 תרגיל 2: מצלע לזווית · קל
במשולש ABC: AB = 5 , BC = 8 , AC = 6
סדרו את זוויות המשולש מהגדולה לקטנה
סדרו את זוויות המשולש מהגדולה לקטנה
AB = 5 , BC = 8 , AC = 6 ← נתון
BC > AC > AB (8 > 6 > 5) ← משווים את הצלעות
מול BC (הגדולה): ∢A הכי גדולה ← מול הצלע הגדולה – הזווית הגדולה
📐 משפט: במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)
מול AC: ∢B באמצע ← מול הצלע הגדולה – הזווית הגדולה
📐 משפט: במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)
מול AB (הקטנה): ∢C הכי קטנה ← מול הצלע הגדולה – הזווית הגדולה
📐 משפט: במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)
✅ פתרון סופי: ∢A > ∢B > ∢C
🟣 תרגיל 3: אי־שוויון המשולש · קל
האם אפשר לבנות משולש שאורכי צלעותיו:
א. 3 , 4 , 8 ב. 5 , 7 , 10
א. 3 , 4 , 8 ב. 5 , 7 , 10
א. הצלע הגדולה היא 8. בודקים את שתי הקטנות:
3 + 4 = 7 , 7 < 8 ← סכום שתי צלעות חייב להיות גדול מהשלישית
📐 משפט: אי־שוויון המשולש: סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית a + b > c
אי אפשר לבנות משולש ← שתי הצלעות הקצרות לא "נפגשות" (בשרטוט)
ב. הצלע הגדולה היא 10. בודקים את שתי הקטנות:
5 + 7 = 12 , 12 > 10 ← סכום שתי צלעות גדול מהשלישית
📐 משפט: אי־שוויון המשולש: סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית a + b > c
אפשר לבנות משולש ← מספיק לבדוק מול הצלע הגדולה
✅ פתרון סופי: א. לא · ב. כן
🔷 תרגיל 4: הצלע השלישית · בינוני
במשולש שתי צלעות: 4 ו־9. הצלע השלישית x היא מספר שלם
א. אילו ערכים אפשריים ל־x? ב. המשולש שווה שוקיים – מה x?
א. אילו ערכים אפשריים ל־x? ב. המשולש שווה שוקיים – מה x?
9 − 4 < x < 9 + 4 ← הצלע השלישית בין ההפרש לסכום
📐 מסקנה: צלע שלישית: גדולה מההפרש וקטנה מהסכום a − b < c < a + b
5 < x < 13 ← חישוב
x = 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 ← המספרים השלמים בין 5 ל־13 (בלי 5 ובלי 13)
ב. בשווה שוקיים x שווה לאחת הצלעות: x = 4 או x = 9
x = 4 לא אפשרי: 4 + 4 = 8 < 9 ← סכום שתי צלעות חייב להיות גדול מהשלישית
📐 משפט: אי־שוויון המשולש: סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית a + b > c
x = 9 אפשרי: 9 נמצא בין 5 ל־13 ✔ ← הצלע השלישית בין ההפרש לסכום
📐 מסקנה: צלע שלישית: גדולה מההפרש וקטנה מהסכום a − b < c < a + b
✅ פתרון סופי: א. 7 ערכים: 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 · ב. x = 9
🔵 תרגיל 5: מורכב: איזה קטע ארוך יותר?
במשולש ABC: ∢B = 40 , ∢C = 60. הקטע AD חוצה את ∢A (D על BC)
סדרו את הקטעים BD , AD , DC מהגדול לקטן
סדרו את הקטעים BD , AD , DC מהגדול לקטן
∢B = 40 , ∢C = 60 , AD חוצה את ∢A ← נתון
∢A = 180 − 40 − 60 = 80 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢BAD = ∢DAC = 80 : 2 = 40 ← AD חוצה את ∢A
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
במשולש ABD: ∢BAD = ∢B = 40 ← AD = BD ← שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
📐 משפט הפוך: אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות) ∢B = ∢C ⟹ AB = AC
∢ADC = 40 + 40 = 80 ← זווית חיצונית למשולש ABD
📐 משפט: זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה ∢ACD = ∢A + ∢B
במשולש ADC: ∢C = 60 , ∢DAC = 40 , 60 > 40 ← משווים זוויות במשולש ADC
AD > DC ← מול הזווית הגדולה (∢C) – הצלע הגדולה (AD)
📐 משפט: במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)
✅ פתרון סופי: BD = AD > DC
💡 לזכור
"מול" = הזווית שלא נוגעת בצלע. בודקים אי־שוויון משולש מול הצלע הגדולה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il