גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
חורף 2010 – ללא מעגל
📅 חורף 2010 · בגרות 4 יחידות (035804), שאלה 4
חוצה זווית, דמיון ומשולש שווה שוקיים
📄 נוסח השאלה
CD הוא חוצה־זווית ∢ACB במשולש ABC (ראה ציור).
נתון: ∢ACB = 2∢ABC, AC = 20 ס"מ, AB = 32 ס"מ.
א. (1) הוכח כי △ACB ∼ △ADC.
(2) מצא את האורך של הקטע AD.
(3) מצא את האורך של הצלע BC.
ב. נקודה F היא אמצע הצלע BC. הוכח: DF ⊥ BC.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א(1) – דמיון המשולשים ACB ו־ADC
CD חוצה את ∢ACB:📐 חוצה זוויתמחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
∢ACD = ∢DCB = ∢ACB2
∢ACB = 2∢ABC
(נתון)
∢ACD = 2∢ABC2 = ∢ABC
נשווה את המשולשים ACB ו־ADC:
∢ABC = ∢ACD
(הוכח)
∢CAB = ∢DAC
(זווית משותפת)
שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה
△ACB ∼ △ADC
ההתאמה: A ↔ A, C ↔ D, B ↔ C
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף א(2) – אורך הקטע AD
מהדמיון בסעיף א(1):📐 יחס דמיוןACAD = CBDC = ABAC
ACAD = ABAC
20AD = 3220
32 · AD = 20 · 20
AD = 40032 = 12.5
✅ פתרון סופי: AD = 12.5 ס"מ
סעיף א(3) – אורך הצלע BC
DB = AB − AD
DB = 32 − 12.5 = 19.5
בסעיף א(1) מצאנו ∢DCB = ∢ACD = ∢ABC, כלומר במשולש DBC:
∢DCB = ∢DBC
במשולש DBC מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות:📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
DC = DB = 19.5
מהדמיון בסעיף א(1):📐 יחס דמיוןACAD = CBDC = ABAC
CBDC = ABAC
CB19.5 = 3220
CB = 19.5 · 1.6
CB = 31.2
✅ פתרון סופי: BC = 31.2 ס"מ
סעיף ב – DF מאונך ל־BC
בסעיף א(3) הוכחנו:
DB = DC
ולכן המשולש DBC שווה שוקיים, והצלע BC היא הבסיס שלו.
BF = FC
כי F אמצע BC
ולכן DF הוא התיכון לבסיס במשולש DBC.
התיכון לבסיס הוא גם הגובה לבסיס:📐 משולש שווה שוקייםהתיכון לבסיס הוא גם גובה וגם חוצה זווית
DF ⊥ BC
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א(1) | הוכחה |
|---|---|
| סעיף א(2) | 12.5 ס"מ |
| סעיף א(3) | 31.2 ס"מ |
| סעיף ב | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il