גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
שיעור 18: מלבן, מעוין וריבוע
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 5 · מרובעים · שיעור 18
📄 דף הסבר: מלבן, מעוין וריבוע
התכונות ומשפטי הזיהוי של מלבן, מעוין וריבוע
מלבן
מלבן הוא מקבילית שיש בה זווית ישרה – לכן יש לו את כל התכונות של מקבילית
📐 הגדרה: מלבן: מקבילית שיש בה זווית ישרה
📐 📐 משפט: במלבן כל הזוויות ישרות
📐 📐 משפט: במלבן האלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
AO = OC = BO = OD ← האלכסונים שווים וחוצים זה את זה
📐 משפט: במלבן: כל הזוויות 90 מעלות והאלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
📐 משפט: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
📐 📐 זיהוי: מקבילית עם זווית ישרה או עם אלכסונים שווים – מלבן. מרובע עם 3 זוויות ישרות – מלבן
מעוין וריבוע
מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות. הוא גם מקבילית
📐 הגדרה: מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות (הוא גם מקבילית)
📐 📐 משפט: במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה: AC ⊥ BD
📐 📐 משפט: במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות
📐 📐 זיהוי: מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות, או עם אלכסונים מאונכים – מעוין
ריבוע = מלבן + מעוין: כל הזוויות 90, כל הצלעות שוות, האלכסונים שווים, מאונכים וחוצים את הזוויות (45 + 45)
📐 משפט: ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין: כל התכונות של שניהם
מלבן: זוויות 90 , אלכסונים שווים · מעוין: צלעות שוות , אלכסונים מאונכים וחוצי זוויות · ריבוע: הכול ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: אלכסונים במלבן, זוויות במעוין, היקף מעוין, הוכחה במלבן ותרגיל מורכב עם התיכון ליתר. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: אלכסונים במלבן · בינוני
ABCD מלבן, האלכסונים נפגשים ב־O
AC = 3x + 2 , BD = 5x − 6 , ∢OAB = 35
מצאו את x , AO ו־∢AOB
AC = 3x + 2 , BD = 5x − 6 , ∢OAB = 35
מצאו את x , AO ו־∢AOB
AC = BD ← במלבן האלכסונים שווים
📐 משפט: במלבן: כל הזוויות 90 מעלות והאלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
3x + 2 = 5x − 6 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
2 + 6 = 5x − 3x ⟹ 8 = 2x ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 4 , AC = 3 · 4 + 2 = 14 ← מחלקים ב־2 ומציבים
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
AO = 14 : 2 = 7 ← האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
OA = OB ← ∢OBA = ∢OAB = 35 ← △AOB שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במלבן: כל הזוויות 90 מעלות והאלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
∢AOB = 180 − 35 − 35 = 110 ← סכום הזוויות במשולש AOB
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: x = 4 , AO = 7 , ∢AOB = 110
🟢 תרגיל 2: זוויות במעוין · בינוני
ABCD מעוין, האלכסונים נפגשים ב־O , ונתון ∢DAB = 70
מצאו את ∢BAO , ∢ABO ו־∢ABC
מצאו את ∢BAO , ∢ABO ו־∢ABC
∢BAO = 70 : 2 = 35 ← במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות
📐 משפט: במעוין: האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות המעוין
∢AOB = 90 ← במעוין האלכסונים מאונכים
📐 משפט: במעוין: האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות המעוין
∢ABO = 180 − 90 − 35 = 55 ← סכום הזוויות במשולש AOB
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢ABC = 180 − 70 = 110 ← במקבילית סכום זוויות סמוכות 180
📐 משפט: במקבילית הזוויות הנגדיות שוות, וסכום שתי זוויות סמוכות 180 מעלות
💡 בדיקה: ∢ABC = 2 · 55 = 110 ✔ (האלכסון BD חוצה את ∢B)
✅ פתרון סופי: ∢BAO = 35 , ∢ABO = 55 , ∢ABC = 110
🟣 תרגיל 3: היקף מעוין · קל
ABCD מעוין. AB = 3y + 1 , BC = 2y + 5
מצאו את y ואת היקף המעוין
מצאו את y ואת היקף המעוין
AB = BC ← במעוין כל הצלעות שוות
📐 הגדרה: מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות (הוא גם מקבילית)
3y + 1 = 2y + 5 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
3y − 2y = 5 − 1 ⟹ y = 4 ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
AB = 3 · 4 + 1 = 13 ← מציבים y = 4
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
היקף: 4 · 13 = 52 ← ארבע צלעות שוות
✅ פתרון סופי: y = 4 , היקף המעוין 52
🔷 תרגיל 4: הוכחה במלבן · בינוני
ABCD מלבן, ו־M אמצע הצלע AB
הוכיחו: MD = MC
הוכיחו: MD = MC
∢A = ∢B = 90 ← במלבן כל הזוויות ישרות
📐 משפט: במלבן: כל הזוויות 90 מעלות והאלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
AD = BC ← במלבן (מקבילית) הצלעות הנגדיות שוות
📐 משפט: במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
AM = MB ← M אמצע AB
△AMD ≅ △BMC ← צ.ז.צ
📐 משפט חפיפה: צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
MD = MC ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: MD = MC
🔵 תרגיל 5: מורכב: מלבן בתוך משולש ישר זווית
במשולש ABC: ∢C = 90 , AB = 20 , M אמצע AB
MD ⊥ AC , ME ⊥ BC. הוכיחו ש־CDME מלבן ומצאו את DE
MD ⊥ AC , ME ⊥ BC. הוכיחו ש־CDME מלבן ומצאו את DE
∢C = ∢CDM = ∢CEM = 90 ← נתון: ∢C = 90 , MD ⊥ AC , ME ⊥ BC
CDME מלבן ← מרובע עם שלוש זוויות ישרות
📐 משפט זיהוי: מרובע שיש בו שלוש זוויות ישרות הוא מלבן
DE = CM ← במלבן האלכסונים שווים
📐 משפט: במלבן: כל הזוויות 90 מעלות והאלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
CM = AB : 2 = 20 : 2 = 10 ← במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר
📐 משפט: במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר
DE = 10 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: CDME מלבן , DE = 10
💡 לזכור
במלבן האלכסונים יוצרים 4 משולשים שווי שוקיים. במעוין – 4 משולשים ישרי זווית.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il