גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
שיעור 24: זווית מרכזית וזווית היקפית
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 7 · המעגל · שיעור 24
📄 דף הסבר: זווית מרכזית וזווית היקפית
זווית היקפית שווה לחצי המרכזית, היקפיות על אותה קשת, והיקפית על קוטר
זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית
∢ACB היקפית , ∢AOB מרכזית – נשענות על אותה קשת AB
📐 הגדרה: זווית היקפית: קדקודה על המעגל ושוקיה מיתרים. זווית מרכזית: קדקודה במרכז
OA = OC ← רדיוסים
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
∢OAC = ∢OCA = x ← △AOC שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
∢AOB = x + x = 2x ← זווית חיצונית ל־△AOC שווה לסכום שתי הפנימיות שלא צמודות לה
📐 משפט: זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה ∢ACD = ∢A + ∢B
📐 📐 משפט: זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
זוויות היקפיות על אותה קשת, וזווית היקפית על קוטר
∢ACB = ∢ADB ← שתיהן נשענות על הקשת AB
📐 משפט: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
📐 📐 משפט: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
📐 📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90). ולהפך: זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר
💡 כי הזווית המרכזית של קוטר היא 180 , וחצי ממנה 90
📐 משפט: זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת ∢ACB = ∢AOB : 2
היקפית = מרכזית : 2 · היקפיות על אותה קשת שוות · היקפית על קוטר = 90 ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: היקפית ומרכזית, אותה קשת עם משוואה, היקפית על קוטר, משוואה עם מרכזית ותרגיל מורכב. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: היקפית ומרכזית · קל
O מרכז המעגל. ∢AOB = 110
מצאו את הזווית ההיקפית ∢ACB
מצאו את הזווית ההיקפית ∢ACB
∢ACB = ∢AOB : 2 = 110 : 2 = 55 ← זווית היקפית שווה לחצי המרכזית הנשענת על אותה קשת
📐 משפט: זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת ∢ACB = ∢AOB : 2
✅ פתרון סופי: ∢ACB = 55
🟢 תרגיל 2: אותה קשת · קל
∢ACB = 3x + 5 , ∢ADB = 5x − 15 – שתי זוויות היקפיות על הקשת AB
מצאו את x ואת הזוויות
מצאו את x ואת הזוויות
∢ACB = ∢ADB ← זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
📐 משפט: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
3x + 5 = 5x − 15 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
5 + 15 = 5x − 3x ⟹ 20 = 2x ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 10 ← מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢ACB = ∢ADB = 3 · 10 + 5 = 35 ← מציבים x = 10
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: x = 10 , הזוויות 35
🟣 תרגיל 3: היקפית על קוטר · קל
AB קוטר במעגל, C נקודה על המעגל, ∢CAB = 32
מצאו את ∢ACB ואת ∢ABC
מצאו את ∢ACB ואת ∢ABC
∢ACB = 90 ← זווית היקפית הנשענת על קוטר ישרה
📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
∢ABC = 180 − 90 − 32 = 58 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: ∢ACB = 90 , ∢ABC = 58
🔷 תרגיל 4: משוואה · בינוני
O מרכז המעגל. ∢AOB = 4x , ∢ACB = x + 15
מצאו את x ואת שתי הזוויות
מצאו את x ואת שתי הזוויות
∢AOB = 2 · ∢ACB ← זווית היקפית שווה לחצי המרכזית על אותה קשת
📐 משפט: זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת ∢ACB = ∢AOB : 2
4x = 2(x + 15) ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
4x = 2x + 30 ← פותחים סוגריים
2x = 30 ⟹ x = 15 ← מעבירים אגפים ומחלקים ב־2
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢AOB = 60 , ∢ACB = 30 ← מציבים x = 15
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: x = 15 , ∢AOB = 60 , ∢ACB = 30
🔵 תרגיל 5: מורכב: שלושה משפטים
AC קוטר במעגל. B ו־D על המעגל משני צדי AC , ו־∢BAC = 25
מצאו את ∢BDC , ∢ABC , ∢ACB ו־∢ADB
מצאו את ∢BDC , ∢ABC , ∢ACB ו־∢ADB
∢BDC = ∢BAC = 25 ← זוויות היקפיות על הקשת BC
📐 משפט: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
∢ABC = 90 ← זווית היקפית הנשענת על הקוטר AC
📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
∢ACB = 180 − 90 − 25 = 65 ← סכום הזוויות במשולש ABC
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢ADB = ∢ACB = 65 ← זוויות היקפיות על הקשת AB
📐 משפט: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
✅ פתרון סופי: ∢BDC = 25 , ∢ABC = 90 , ∢ACB = 65 , ∢ADB = 65
💡 לזכור
רואים קוטר? מחפשים זווית היקפית של 90 – ומשם פיתגורס או סכום זוויות.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il