גאומטריה – שאלון 571 10 פרקים49 שיעורים10 שבועות
שיעור 2: זוויות בין ישרים מקבילים
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 1: זוויות וישרים מקבילים · שיעור 2
📄 דף הסבר: זוויות בין ישרים מקבילים
חותך, שלושה סוגי זוגות זוויות, ושלושה משפטים – עם הוכחה
ישר שחותך שני ישרים: 8 זוויות
הישר EF חותך את הישרים AB ו־CD ← לישר EF קוראים חותך
📐 הגדרה: חותך: ישר שחותך שני ישרים אחרים
נוצרות 8 זוויות: 4 ליד הישר AB ו־4 ליד הישר CD
∢1 ו־∢5 זוויות מתאימות ← שתיהן מעל הישר ומימין לחותך
📐 הגדרה: זוויות מתאימות: באותו מקום בכל אחת משתי נקודות החיתוך
גם ∢2 ו־∢6 גם ∢3 ו־∢7 וגם ∢4 ו־∢8 ← זוגות של זוויות מתאימות
∢3 ו־∢5 זוויות מתחלפות ← בין הישרים, משני צדי החותך (צורת Z)
📐 הגדרה: זוויות מתחלפות: בין שני הישרים, משני צדי החותך
גם ∢4 ו־∢6 מתחלפות ← אותה סיבה
∢4 ו־∢5 זוויות חד־צדדיות ← בין הישרים, באותו צד של החותך
📐 הגדרה: זוויות חד־צדדיות: בין שני הישרים, באותו צד של החותך
גם ∢3 ו־∢6 חד־צדדיות ← אותה סיבה
כשהישרים מקבילים
נתון: AB ∥ CD (מסמנים בשרטוט חצים על הישרים)
📐 משפט: בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות
למה משפט 2 נכון? מוכיחים בעזרת משפט 1:
∢3 = ∢1 ← זוויות קדקודיות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
∢1 = ∢5 ← זוויות מתאימות בין מקבילים
∢3 = ∢5 ← שתיהן שוות ל־∢1
📐 משפט: בין ישרים מקבילים סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות
∢4 + ∢1 = 180 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
∢4 + ∢5 = 180 ← מציבים ∢5 במקום ∢1 (הן שוות)
בין ישרים מקבילים: מתאימות ← שוות · מתחלפות ← שוות · חד־צדדיות ← סכום 180 מעלות ✅
✏️ תרגילים
ארבעה תרגילים מהקל לקשה: אחד לכל משפט, ואחד מורכב שמשלב שלושה משפטים. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט או כלל שמשתמשים בו מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: זוויות מתאימות · קל
AB ∥ CD והישר EF חותך אותם בנקודות G ו־H
נתון: ∢EGB = 70
מצאו את ∢GHD ואת ∢CHG
נתון: ∢EGB = 70
מצאו את ∢GHD ואת ∢CHG
AB ∥ CD ו־∢EGB = 70 ← נתון
∢EGB ו־∢GHD זוויות מתאימות ← שתיהן מעל הישר ומימין לחותך
📐 הגדרה: זוויות מתאימות: באותו מקום בכל אחת משתי נקודות החיתוך
∢GHD = ∢EGB ← בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
∢GHD = 70 ← מציבים ∢EGB = 70
∢CHG + ∢GHD = 180 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
∢CHG = 180 − 70 = 110 ← מעבירים את 70 לאגף השני
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
✅ פתרון סופי: ∢GHD = 70 מעלות , ∢CHG = 110 מעלות
🟢 תרגיל 2: זוויות מתחלפות · עם משוואה
AB ∥ CD והישר EF חותך אותם בנקודות G ו־H
נתון: ∢AGH = 2x + 10 ו־∢GHD = 3x − 25
מצאו את x ואת ∢AGH
נתון: ∢AGH = 2x + 10 ו־∢GHD = 3x − 25
מצאו את x ואת ∢AGH
AB ∥ CD ← נתון
∢AGH = 2x + 10 ו־∢GHD = 3x − 25 ← נתון
∢AGH ו־∢GHD זוויות מתחלפות ← בין הישרים, משני צדי החותך
📐 הגדרה: זוויות מתחלפות: בין שני הישרים, משני צדי החותך
∢AGH = ∢GHD ← בין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
2x + 10 = 3x − 25 ← מציבים את הביטויים
10 + 25 = 3x − 2x ← מעבירים אגפים ומחליפים סימן
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
35 = x ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
∢AGH = 2 · 35 + 10 = 80 ← מציבים x = 35
בדיקה: ∢GHD = 3 · 35 − 25 = 80 ✔ ← יצא שווה – נכון
✅ פתרון סופי: x = 35 , ∢AGH = 80 מעלות
🟣 תרגיל 3: זוויות חד־צדדיות · עם משוואה
AB ∥ CD והישר EF חותך אותם בנקודות G ו־H
נתון: ∢BGH = 4x + 20 ו־∢GHD = x + 10
מצאו את x ואת שתי הזוויות
נתון: ∢BGH = 4x + 20 ו־∢GHD = x + 10
מצאו את x ואת שתי הזוויות
AB ∥ CD ← נתון
∢BGH = 4x + 20 ו־∢GHD = x + 10 ← נתון
∢BGH ו־∢GHD זוויות חד־צדדיות ← בין הישרים, באותו צד של החותך
📐 הגדרה: זוויות חד־צדדיות: בין שני הישרים, באותו צד של החותך
∢BGH + ∢GHD = 180 ← בין מקבילים: סכום חד־צדדיות 180
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות
(4x + 20) + (x + 10) = 180 ← מציבים את הביטויים
5x + 30 = 180 ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
5x = 180 − 30 = 150 ← מעבירים את 30 לאגף השני
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 150 : 5 = 30 ← מחלקים את שני האגפים ב־5
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢BGH = 4 · 30 + 20 = 140 ← מציבים x = 30
∢GHD = 30 + 10 = 40 ← מציבים x = 30 (בדיקה: 140 + 40 = 180 ✔)
✅ פתרון סופי: x = 30 , ∢BGH = 140 , ∢GHD = 40
🔷 תרגיל 4: מורכב · קדקודיות + מתאימות + צמודות
AB ∥ CD והישר EF חותך אותם בנקודות G ו־H
נתון: ∢AGE = 2x + 30 ו־∢DHF = 4x − 10
מצאו את x ואת ∢GHD
נתון: ∢AGE = 2x + 30 ו־∢DHF = 4x − 10
מצאו את x ואת ∢GHD
AB ∥ CD ← נתון
∢AGE = 2x + 30 ו־∢DHF = 4x − 10 ← נתון
∢BGH = ∢AGE = 2x + 30 ← זוויות קדקודיות שוות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
∢BGH = ∢DHF ← בין מקבילים זוויות מתאימות שוות (שתיהן מתחת לישר, מימין לחותך)
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
2x + 30 = 4x − 10 ← מציבים את הביטויים
30 + 10 = 4x − 2x ← מעבירים אגפים ומחליפים סימן
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
40 = 2x ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
x = 40 : 2 = 20 ← מחלקים את שני האגפים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢DHF = 4 · 20 − 10 = 70 ← מציבים x = 20 (בדיקה: 2 · 20 + 30 = 70 ✔)
∢GHD + ∢DHF = 180 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
∢GHD = 180 − 70 = 110 ← מעבירים את 70 לאגף השני
✅ פתרון סופי: x = 20 , ∢GHD = 110 מעלות
💡 לזכור
קודם מזהים את הזוג (מתאימות, מתחלפות או חד־צדדיות), ורק אחר כך משתמשים במשפט. בכל שורה: טענה ונימוק.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il