קיץ 2024 מועד א – שאלה 1 סעיף א

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 1 סעיף א
סכום עם איבר ריבועי

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי:

4 + 13 + … + 5n² + 3n2

= n(n + 1)(5n + 7)6

✏️ פתרון

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי

אגף שמאל:

5 + 32 = 4

אגף ימין:

1 · 2 · 126 = 246 = 4 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

4 + 13 + … + 5k² + 3k2

= k(k + 1)(5k + 7)6

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

האיבר האחרון בעבור n = k + 1 (נוציא גורם משותף (k + 1)):

5(k + 1)² + 3(k + 1)2

= (k + 1)(5k + 8)2

ובאגף ימין 5(k + 1) + 7 = 5k + 12. צריך להוכיח:

4 + … + (k + 1)(5k + 8)2

= (k + 1)(k + 2)(5k + 12)6

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה4 + … + 5k² + 3k2= k(k + 1)(5k + 7)6

= k(k + 1)(5k + 7)6 + (k + 1)(5k + 8)2

נוציא גורם משותף k + 16:📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)

= k + 16 · [k(5k + 7) + 3(5k + 8)]

= k + 16 · (5k² + 22k + 24)

נפרק, ונבדוק בפתיחת סוגריים:📐 פתיחת סוגריים(k + 2)(5k + 12)= 5k² + 12k + 10k + 24= 5k² + 22k + 24

= (k + 1)(k + 2)(5k + 12)6 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 סיכום

סעיף א	הוכחה

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

קיץ 2024 מועד א – שאלה 1 סעיף א

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 1 סעיף אסכום עם איבר ריבועי

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

📌 סיכום

Modal title

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 1 סעיף א
סכום עם איבר ריבועי