מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 10 פרקים459 שיעורים10 שבועות
שיעור 81- חקירה עם פרמטר עם תחומי קעירות 2009 מועד ב
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
שאלת בגרות (2009, מועד ב) – חקירת פונקציית מנה עם שני פרמטרים: משיקים מקבילים, אסימפטוטות, עלייה וירידה, קעירות ושתי סקיצות – ל-b > 0 ול-b < 0.
📝 השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = x − ax − b. נתון: a ו-b גדולים מ-0, a ≠ b. המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שלו עם הצירים מקבילים זה לזה.
א. הוכח כי a = 2b.
ב. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.
ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
ד. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ה. מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה.
ו. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
ז. בסעיף זה b < 0. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה (על סמך תחומי העלייה והירידה ותחומי הקעירות).
✏️ פתרון
🔵 סעיף א: הוכחה ש-a = 2b בעזרת שיפועי המשיקים המקבילים
הוכח כי a = 2b.
משיקים מקבילים ← השיפועים שווים. השיפוע = הנגזרת בנקודת ההשקה.
חיתוך עם ציר y: x = 0. חיתוך עם ציר x: y = 0:
0 = x − ax − b ← x − a = 0 ← x = a
נגזרת של מנה: (fg)′ = f′·g − g′·fg²
f′(x) = 1·(x − b) − 1·(x − a)(x − b)²
f′(x) = x − b − x + a(x − b)²
f′(x) = −b + a(x − b)²
m₁ = f′(0) = −b + a(0 − b)² = −b + ab²
m₂ = f′(a) = −b + a(a − b)²
משווים שיפועים – המונים שווים (ושונים מ-0), לכן משווים את המכנים:
b² = (a − b)²
b² = a² − 2ab + b²
0 = a² − 2ab /:a
0 = a − 2b
תשובה: a = 2b (מש"ל)
שני המשיקים המקבילים (דוגמה עם b = 1)
מציבים a = 2b: f(x) = x − 2bx − b
🟢 סעיף ב: האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים
מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.
תחום הגדרה: x − b ≠ 0 ← x ≠ b
אנכית: x = b
אופקית: החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (1) ← y = 11 = 1
תשובה: x = b , y = 1
🟣 סעיף ג: תחומי עלייה וירידה – הנגזרת שווה b ולכן אין קיצון
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
f′(x) = 1·(x − b) − 1·(x − 2b)(x − b)²
f′(x) = x − b − x + 2b(x − b)²
f′(x) = b(x − b)²
ה-x נעלם במונה ← אין נקודות קיצון: הפונקציה תמיד עולה או תמיד יורדת.
המכנה חיובי ו-b > 0 ← f′(x) > 0 ← עולה.
תשובה: הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה (x ≠ b), אין תחומי ירידה
🔷 סעיף ד: נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
x = 0: f(0) = 0 − 2b0 − b = −2b−b = 2 ← (0 , 2)
y = 0: 0 = x − 2bx − b ← x − 2b = 0 ← x = 2b
תשובה: (0 , 2) , (2b , 0)
🔵 סעיף ה: תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה בעזרת הנגזרת השנייה
מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה.
f′(x) = b(x − b)²
f′(x) = bx² − 2bx + b²
f″(x) = 0·(x² − 2bx + b²)
− (2x − 2b)·b(x − b)⁴
− (2x − 2b)·b(x − b)⁴
f″(x) = −2bx + 2b²(x − b)⁴
−2bx + 2b² = 0 /:2b ← −x + b = 0 ← x = b
x = b לא בתחום ההגדרה ← אין נקודות פיתול.
המכנה חיובי, וחילקנו ב-2b > 0 – הסימן של f″ הוא הסימן של −x + b:
x = 0: −0 + b = b > 0 ← ∪
x = 2b: −2b + b = −b < 0 ← ∩
| x | x < b | x > b |
| f″(x) | + | − |
| f(x) | ∪ | ∩ |
תשובה: קעורה כלפי מעלה ∪: x < b
קעורה כלפי מטה ∩: x > b
🟢 סעיף ו: סקיצה של גרף הפונקציה כאשר b > 0
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
אסימפטוטות x = b, y = 1; נקודות חיתוך (0 , 2), (2b , 0) (2b גדול מ-b).
תמיד עולה; ∪ משמאל ל-x = b, ∩ מימין.
תשובה: ראו סקיצה
🟣 סעיף ז: סקיצה של גרף הפונקציה כאשר b < 0 – הכול מתהפך
בסעיף זה b < 0. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה (על סמך תחומי העלייה והירידה ותחומי הקעירות).
f′(x) = b(x − b)² ו-b < 0 ← f′(x) < 0 ← הפונקציה תמיד יורדת.
אסימפטוטות x = b, y = 1; (0 , 2), ו-(2b , 0) משמאל לאסימפטוטה (2b < b).
חילקנו ב-2b < 0 – הסימן מתהפך: ל-x > b f″ > 0, ל-x < b f″ < 0.
| x | x < b | x > b |
| f″(x) | − | + |
| f(x) | ∩ | ∪ |
תשובה: תמיד יורדת; ∩ ל-x < b, ∪ ל-x > b (ראו סקיצה)
💡 לזכור
כשהשיפועים שווים והמונים שווים – משווים את המכנים. ואם הנגזרת יצאה מספר (כמו b) – הסימן שלו קובע: תמיד עולה או תמיד יורדת, ובפרמטר שלילי גם הקעירות מתהפכת.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il