שיעור 33 – בגרות 482 קיץ 2023 מועד ב׳ – שאלה 3

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 482 · קיץ 2023 מועד ב׳ · שאלה 3
בגרות 482 קיץ 2023 מועד ב׳ – שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 1 + x − sin(2x) , המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π .

א. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ג. מצאו את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = π4 .

ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי הישר המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג ועל ידי ציר ה־y (בתחום הנתון המשיק פוגש את גרף הפונקציה רק בנקודת ההשקה).

✏️ פתרון

סעיף א – נקודות קיצון

הנגזרת – גוזרים כל איבר בנפרד:

הנגזרת של 1 היא 0, והנגזרת של x היא 1.

📐 נגזרת של קבועהנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0

[sin(2x)]′ = 2cos(2x)📐 נגזרת של סינוס (פונקציה מורכבת)[sin(ax)]′ = a · cos(ax)

f′(x) = 1 − 2cos(2x)

משווים את הנגזרת ל־0:

1 − 2cos(2x) = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

−2cos(2x) = −1

cos(2x) = 12

הזווית שהקוסינוס שלה 12 היא π3 (כמו 60 מעלות). הזווית כאן היא 2x :

2x = π3 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos tx = t + 2πkx = −t + 2πk

2x = −π3 + 2πk

מחלקים ב־2 כל משפחה:

x = π6 + πk

x = −π6 + πk

מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ π . מהמשפחה הראשונה עם k = 0 , ומהשנייה עם k = 1 :

x = π6 , x = −π6 + π = 5π6

ערכים אחרים של k נותנים x מחוץ לתחום (למשל π6 + π = 7π6 גדול מ־π).

קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל תחום:

f′(π12) = 1 − 2cos π6

f′(π12) = 1 − √3 ≈ −0.73 < 0

f′(π2) = 1 − 2cos π = 3 > 0

f′(11π12) = 1 − 2cos 11π6

f′(11π12) = 1 − √3 ≈ −0.73 < 0

שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:

f(x) = 1 + x − sin(2x)

נציב x = 0 :

f(0) = 1 + 0 − sin(2 · 0)

f(0) = 1 + 0 − 0 = 1

נציב x = π6 :

f(π6) = 1 + π6 − sin(2 · π6)

sin π3 = √32📐 ערך מיוחדsin π3 = √32

f(π6) = 1 + π6 − √32 ≈ 0.66

נציב x = 5π6 :

f(5π6) = 1 + 5π6 − sin(2 · 5π6)

הזווית 5π3 היא 2π − π3 , ולכן:

sin 5π3 = sin(−π3) = −√32📐 זווית נגדיתsin(−x) = −sin x

f(5π6) = 1 + 5π6 + √32 ≈ 4.48

נציב x = π :

f(π) = 1 + π − sin(2π)

f(π) = 1 + π − 0 ≈ 4.14

✅ פתרון סופי:
מקסימום קצה: (0 , 1)
מינימום: (π6 , 1 + π6 − √32) , בערך (π6 , 0.66)
מקסימום: (5π6 , 1 + 5π6 + √32) , בערך (5π6 , 4.48)
מינימום קצה: (π , 1 + π) , בערך (π , 4.14)

סעיף ב – סקיצה

מסמנים את הנקודות מסעיף א: (0 , 1) , (π6 , 0.66) , (5π6 , 4.48) , (π , 4.14) .

החיתוך עם ציר y הוא (0 , 1) . הערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא בערך 0.66 – חיובי, ולכן אין חיתוך עם ציר x .

מחברים לפי הציר: יורדת, עולה, יורדת.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – משוואת המשיק

שיעור ה־y של נקודת ההשקה – נציב x = π4 בפונקציה:

f(x) = 1 + x − sin(2x)

f(π4) = 1 + π4 − sin(2 · π4)

f(π4) = 1 + π4 − sin π2

f(π4) = 1 + π4 − 1 = π4

נקודת ההשקה היא (π4 , π4) .

שיפוע המשיק – נציב x = π4 בנגזרת:

f′(x) = 1 − 2cos(2x)

f′(π4) = 1 − 2cos(2 · π4)

f′(π4) = 1 − 2cos π2 = 1

משוואת המשיק:

y − y₁ = m(x − x₁)📐 משוואת משיקy − y₁ = m(x − x₁)m = f′(x₁)

נציב x₁ = π4 , y₁ = π4 , m = 1 :

y − π4 = 1(x − π4)

y − π4 = x − π4

y = x

✅ פתרון סופי: y = x

סעיף ד – שטח

השטח נמצא בין ציר y , שהוא הישר x = 0 , לבין נקודת ההשקה x = π4 , בין הגרף לבין המשיק y = x :

מי למעלה? בנקודה x = 0 הגרף נותן 1 והמשיק נותן 0. לכן בתחום הזה הגרף f(x) הוא העליון והמשיק הוא התחתון.

השטח הוא האינטגרל של ההפרש בין העליון לתחתון.

📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba[f(x) − g(x)] dxf(x) – הגרף העליון , g(x) – הגרף התחתון

ההפרש בין הגרף למשיק:

f(x) − x = 1 + x − sin(2x) − x

f(x) − x = 1 − sin(2x)

S = ∫π40(1 − sin(2x)) dx

פונקציה קדומה של כל איבר:

📐 פונקציה קדומה∫k dx = kx + C∫sin(ax) dx = −1acos(ax) + C

∫(−sin(2x)) dx = 12cos(2x) + C

נקרא לפונקציה הקדומה G(x) :

G(x) = x + 12cos(2x)

S = G(π4) − G(0)

נציב x = π4 (הגבול העליון):

G(π4) = π4 + 12cos(2 · π4)

G(π4) = π4 + 12cos π2 = π4

נציב x = 0 (הגבול התחתון):

G(0) = 0 + 12cos(2 · 0)

G(0) = 0 + 12 · 1 = 12

השטח = הגבול העליון פחות הגבול התחתון:

S = π4 − 12 ≈ 0.29

✅ פתרון סופי: S = π4 − 12 ≈ 0.29

📌 סיכום

סעיף א	מקס. קצה (0 , 1) , מינ. (π6 , 0.66) , מקס. (5π6 , 4.48) , מינ. קצה (π , 4.14)
סעיף ב	סקיצה
סעיף ג	y = x
סעיף ד	S = π4 − 12 ≈ 0.29

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים