מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 10 פרקים459 שיעורים10 שבועות
שיעור 3 – זוויות נגדיות ומשלימות
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
זוויות נגדיות ומשלימות
📄 נוסח השאלה
א. חשבו בלי מחשבון: sin 5π6 , cos 2π3 , sin(−π4) .
ב. הראו כי לכל x מתקיים:
(1) sin(π − x) + cos(π2 − x) = 2sin x
(2) cos(−x) + cos(π − x) = 0
ג. האם הפונקציה f(x) = x · sin x זוגית, אי־זוגית או אף אחד מהם? נמקו.
ד. האם הפונקציה f(x) = sin x + x זוגית, אי־זוגית או אף אחד מהם? נמקו.
ה. (מתוך בגרות 482, קיץ 2019 מועד ב, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = 2 − cos2x בתחום −2π3 ≤ x ≤ 2π3 . האם הפונקציה זוגית? נמקו.
ו. (מתוך בגרות 571, חורף 2026, סעיף א) נתונה הפונקציה f(x) = (sin x)2 + cos x − 1 , המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π . הוכיחו כי הפונקציה f(x) היא זוגית.
✏️ פתרון
הסבר – זווית נגדית
זווית נגדית −x : על מעגל היחידה הנקודה של −x היא השיקוף של הנקודה של x בציר ה־x . שיעור ה־x (הקוסינוס) לא משתנה, ושיעור ה־y (הסינוס) מחליף סימן:
הסינוס מחליף סימן:
📐 זווית נגדיתsin(−x) = −sin xהקוסינוס לא משתנה:
📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos xומחלוקה של השניים:
📐 זווית נגדיתtan(−x) = −tan x✅ פתרון סופי: sin(−x) = −sin x וגם cos(−x) = cos x
הסבר – זוויות שסכומן π ו־π2
זוויות שסכומן π : הנקודה של π − x היא השיקוף בציר ה־y . עכשיו הסינוס נשאר, והקוסינוס מחליף סימן:
הסינוס לא משתנה:
📐 זוויות שסכומן πsin(π − x) = sin xהקוסינוס מחליף סימן:
📐 זוויות שסכומן πcos(π − x) = −cos xזוויות שסכומן π2 (כמו 90 מעלות): במשולש ישר זווית שתי הזוויות החדות משלימות זו את זו, והניצב שמול האחת נמצא ליד השנייה. לכן הסינוס והקוסינוס מתחלפים:
הסינוס הופך לקוסינוס:
📐 זוויות שסכומן π2sin(π2 − x) = cos xוהקוסינוס הופך לסינוס:
📐 זוויות שסכומן π2cos(π2 − x) = sin x✅ פתרון סופי: sin(π − x) = sin x וגם cos(π − x) = −cos x
הסבר – פונקציה זוגית ואי־זוגית
למה זה חשוב בחקירה? בשאלות בגרות שואלים אם פונקציה זוגית (הגרף סימטרי לציר ה־y ) או אי־זוגית (הגרף סימטרי לראשית). בודקים זאת כך: מציבים −x במקום x , ומשתמשים בזהויות של הזווית הנגדית:
משווים את f(−x) ל־f(x) :
📐 פונקציה זוגית ואי־זוגיתזוגית: f(−x) = f(x)אי־זוגית: f(−x) = −f(x)(התחום סימטרי סביב 0)דוגמה: cos x זוגית ( cos(−x) = cos x ) , ו־sin x אי־זוגית ( sin(−x) = −sin x ).
✅ פתרון סופי: זוגית כאשר f(−x) = f(x) , ואי־זוגית כאשר f(−x) = −f(x)
סעיף א – ערכים בלי מחשבון
הזווית 5π6 משלימה את π6 ל־π :
5π6 = π − π6
sin 5π6 = sin(π − π6) = sin π6📐 זוויות שסכומן πsin(π − x) = sin x
sin π6 = 12📐 ערך מיוחדsin π6 = 12
באותה דרך 2π3 = π − π3 , והקוסינוס מחליף סימן:
cos 2π3 = cos(π − π3) = −cos π3📐 זוויות שסכומן πcos(π − x) = −cos x
cos 2π3 = −12📐 ערך מיוחדcos π3 = 12
בזווית נגדית הסינוס מחליף סימן:
sin(−π4) = −sin π4📐 זווית נגדיתsin(−x) = −sin x
sin(−π4) = −√22📐 ערך מיוחדsin π4 = √22
✅ פתרון סופי: sin 5π6 = 12 וגם cos 2π3 = −12 וגם sin(−π4) = −√22
סעיף ב – הוכחת זהויות
(1) כותבים את אגף שמאל ומסמנים את שני האיברים שנחליף:
sin(π − x) + cos(π2 − x)
נציב sin(π − x) = sin x ו־cos(π2 − x) = sin x :
sin x + sin x = 2sin x📐 זוויות שסכומן πsin(π − x) = sin x
השתמשנו גם בזהות:
📐 זוויות שסכומן π2cos(π2 − x) = sin xקיבלנו את אגף ימין ✓
(2) באותה דרך:
cos(−x) + cos(π − x)
נציב cos(−x) = cos x ו־cos(π − x) = −cos x :
cos x + (−cos x) = 0📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos x
ובזהות:
📐 זוויות שסכומן πcos(π − x) = −cos x✅ פתרון סופי: שני השוויונות הוכחו ✓
סעיף ג – x · sin x
מציבים −x במקום x . כותבים את הפונקציה ומסמנים את x :
f(x) = x · sin x
נציב −x :
f(−x) = (−x) · sin(−x)
f(−x) = (−x) · (−sin x)📐 זווית נגדיתsin(−x) = −sin x
מינוס כפול מינוס זה פלוס:
f(−x) = x · sin x = f(x)
קיבלנו f(−x) = f(x) לכל x , ולכן הפונקציה זוגית.
📐 פונקציה זוגית ואי־זוגיתזוגית: f(−x) = f(x)אי־זוגית: f(−x) = −f(x)(התחום סימטרי סביב 0)✅ פתרון סופי: הפונקציה זוגית
סעיף ד – sin x + x
f(x) = sin x + x
נציב −x :
f(−x) = sin(−x) + (−x)
f(−x) = −sin x − x📐 זווית נגדיתsin(−x) = −sin x
מוציאים מינוס כגורם משותף:
f(−x) = −(sin x + x) = −f(x)
קיבלנו f(−x) = −f(x) , ולכן הפונקציה אי־זוגית.
📐 פונקציה זוגית ואי־זוגיתזוגית: f(−x) = f(x)אי־זוגית: f(−x) = −f(x)(התחום סימטרי סביב 0)✅ פתרון סופי: הפונקציה אי־זוגית
סעיף ה – בגרות 482: זוגיות
התחום −2π3 ≤ x ≤ 2π3 סימטרי סביב 0, אז אפשר לבדוק זוגיות. מציבים −x :
f(x) = 2 − cos2x
נציב −x :
f(−x) = 2 − cos2(−x)
cos(−x) = cos x📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos x
ולכן גם cos2(−x) = cos2x :
f(−x) = 2 − cos2x = f(x)
הפונקציה זוגית.
📐 פונקציה זוגית ואי־זוגיתזוגית: f(−x) = f(x)אי־זוגית: f(−x) = −f(x)(התחום סימטרי סביב 0)✅ פתרון סופי: כן, הפונקציה זוגית , כי f(−x) = f(x)
סעיף ו – בגרות 571: זוגיות
התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. מציבים −x :
f(x) = (sin x)2 + cos x − 1
נציב −x :
f(−x) = (sin(−x))2 + cos(−x) − 1
sin(−x) = −sin x📐 זווית נגדיתsin(−x) = −sin x
cos(−x) = cos x📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos x
f(−x) = (−sin x)2 + cos x − 1
ריבוע מוחק את המינוס: (−sin x)2 = (sin x)2 :
f(−x) = (sin x)2 + cos x − 1
קיבלנו בדיוק את הפונקציה המקורית:
f(−x) = f(x)
הוכחנו ש־f(−x) = f(x) , ולכן הפונקציה זוגית.
📐 פונקציה זוגית ואי־זוגיתזוגית: f(−x) = f(x)אי־זוגית: f(−x) = −f(x)(התחום סימטרי סביב 0)✅ פתרון סופי: f(−x) = f(x) – הפונקציה זוגית ✓
📌 סיכום
| סעיף א | 12 , −12 , −√22 |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | זוגית |
| סעיף ד | אי־זוגית |
| סעיף ה | זוגית |
| סעיף ו | הוכחה – זוגית |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il