שיעור 36 – בגרות 571 חורף 2026 – שאלה 7

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 571 · חורף 2026 · שאלה 7
בגרות 571 חורף 2026 – שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה:
f(x) = (sin x)² + cos x − 1
המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π .

א. הוכיחו כי הפונקציה f(x) היא זוגית.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x .
(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) + b .
b הוא פרמטר.

נתון כי לפונקציה g(x) יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות.

ד. כתבו שני ערכים אפשריים של b , שאחד מהם חיובי והאחר שלילי.

הציבו בפונקציה g(x) את הערך השלילי של b שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו.

ה. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) .
(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x) , וקבעו את סוגן.

ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) .

✏️ פתרון

סעיף א – הוכחה ש־f(x) זוגית

התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. צריך להראות ש־f(−x) = f(x) .

נציב −x במקום x :

📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)לכל x בתחום סימטרי

f(x) = (sin x)² + cos x − 1

f(−x) = (sin(−x))² + cos(−x) − 1

sin(−x) = −sin x📐 זווית נגדיתsin(−x) = −sin x

cos(−x) = cos x📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos x

f(−x) = (−sin x)² + cos x − 1

ריבוע של מספר נגדי שווה לריבוע של המספר עצמו:

f(−x) = (sin x)² + cos x − 1 = f(x)

✅ פתרון סופי: f(−x) = f(x) , ולכן הפונקציה זוגית ∎

סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x

על ציר ה־x מתקיים f(x) = 0 :

sin²x + cos x − 1 = 0

במשוואה יש גם סינוס וגם קוסינוס. כדי שתישאר רק cos x , נחליף את sin²x בעזרת הזהות היסודית:

sin²x + cos x − 1 = 0

sin²x = 1 − cos²x📐 זהות יסודיתsin²x + cos²x = 1

נציב sin²x = 1 − cos²x :

1 − cos²x + cos x − 1 = 0

cos x − cos²x = 0

נוציא גורם משותף cos x :

cos x · (1 − cos x) = 0

מכפלה שווה 0, ולכן אחד הגורמים שווה 0.

📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

אפשרות 1:

cos x = 0

cos x = cos π2📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

x = π2 + 2πk או x = −π2 + 2πk

בתחום −π ≤ x ≤ π מתקבלים שני פתרונות, עבור k = 0 :

x = π2 , x = −π2

אפשרות 2:

1 − cos x = 0

cos x = 1

cos x = cos 0📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

x = 0 + 2πk

בתחום יש רק x = 0 .

בכל הנקודות האלה y = 0 , כי אלה נקודות על ציר ה־x .

✅ פתרון סופי: (−π2 , 0) , (0 , 0) , (π2 , 0)

סעיף ב (2) – נקודות קיצון

גזירה. גוזרים כל איבר בנפרד. את (sin x)² גוזרים לפי נגזרת של חזקה:

[(sin x)²]′ = 2sin x · cos x📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)[uⁿ]′ = n · uⁿ⁻¹ · u′

(cos x)′ = −sin x📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x

הנגזרת של המספר 1 היא 0:

f′(x) = 2sin x cos x − sin x

בשני האיברים יש sin x . נוציא אותו כגורם משותף:

f′(x) = sin x · (2cos x − 1)

השוואה ל־0. בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת:

sin x · (2cos x − 1) = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

מכפלה שווה 0, ולכן אחד הגורמים שווה 0.

📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

אפשרות 1:

sin x = 0

x = 0 + 2πk או x = π + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

בתחום −π ≤ x ≤ π :

x = −π , x = 0 , x = π

אפשרות 2:

2cos x − 1 = 0

cos x = 12

cos x = cos π3📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

x = π3 + 2πk או x = −π3 + 2πk

בתחום מתקבלים שני פתרונות, עבור k = 0 :

x = π3 , x = −π3

קביעת סוג הנקודות. נסמן על ציר את הנקודות. הנקודות ±π הן גם קצות התחום. נציב בנגזרת מספר מכל תחום:

f′(−π2) = sin(−π2) · (2cos(−π2) − 1)

f′(−π2) = (−1) · (0 − 1) = 1 > 0

f′(−π6) = sin(−π6) · (2cos(−π6) − 1)

f′(−π6) = −12 · (√3 − 1) ≈ −0.37 < 0

f′(π6) = 12 · (√3 − 1) ≈ 0.37 > 0

f′(π2) = 1 · (0 − 1) = −1 < 0

שיעורי ה־y. מציבים בפונקציה:

f(x) = (sin x)² + cos x − 1

נציב x = π3 :

f(π3) = (sin π3)² + cos π3 − 1

sin π3 = √32📐 ערכים מיוחדיםsin π3 = √32cos π3 = 12

f(π3) = (√32)² + 12 − 1

f(π3) = 34 + 12 − 1 = 14

נציב x = 0 :

f(0) = (sin 0)² + cos 0 − 1

f(0) = 0 + 1 − 1 = 0

נציב x = π :

f(π) = (sin π)² + cos π − 1

f(π) = 0 + (−1) − 1 = −2

הפונקציה זוגית (סעיף א), ולכן:

f(−π3) = 14 , f(−π) = −2

✅ פתרון סופי: מקסימום (−π3 , 14) , (π3 , 14) ; מינימום (0 , 0) ; מינימום קצה (−π , −2) , (π , −2)

סעיף ג – סקיצה של f(x)

מסמנים את נקודות החיתוך מסעיף ב (1) ואת נקודות הקיצון מסעיף ב (2), ומחברים לפי החצים בציר. הגרף סימטרי סביב ציר ה־y (זוגית):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – ערכים של b

אסימפטוטה אנכית של g נמצאת איפה שהמכנה מתאפס (והמונה 1 לא מתאפס):

f(x) + b = 0

f(x) = −b

כלומר: צריך שהישר האופקי y = −b יחתוך את הגרף של f מסעיף ג בדיוק בשתי נקודות. נעזר בסקיצה:

• הישר y = 14 (בירוק) נוגע בגרף רק בשתי נקודות המקסימום. שתי נקודות ✓

−b = 14 ⇒ b = −14

• כל ישר y = −b בגובה −2 ≤ −b < 0 , למשל y = −1 בכתום, חותך כל צד של הגרף פעם אחת. שתי נקודות ✓

−2 ≤ −b < 0 ⇒ 0 < b ≤ 2

למשל b = 1 .

• בגובה 0 < −b < 14 יש ארבע נקודות, בגובה 0 שלוש נקודות, ומעל 14 או מתחת ל־−2 אין נקודות. אלה לא מתאימים.

✅ פתרון סופי: שלילי: b = −14 ; חיובי: למשל b = 1 . מתאים כל b בתחום 0 < b ≤ 2

סעיף ה (1) – תחום ההגדרה של g(x)

נציב b = −14 :

g(x) = 1f(x) + b

g(x) = 1f(x) + (−14) = 1f(x) − 14

אסור שהמכנה יהיה 0:

f(x) − 14 ≠ 0

f(x) ≠ 14

לפי סעיף ב (2) והסקיצה, f(x) = 14 רק בשתי נקודות המקסימום x = ±π3 .

✅ פתרון סופי: −π ≤ x ≤ π , x ≠ ±π3

סעיף ה (2) – נקודות הקיצון של g(x)

נסמן את המכנה ב־u(x) , ואז g = 1u :

u(x) = f(x) − 14

הגרף של u הוא הגרף של f מוזז 14 למטה.

📐 הזזה אנכיתהגרף של f(x) − c זז c יחידות למטה

המקסימום של f הוא 14 , ולכן אחרי ההזזה המקסימום של u הוא 0. כלומר u ≤ 0 , ו־u = 0 רק ב־x = ±π3 .

כש־u שלילי ועולה, 1u יורד, וכש־u יורד, 1u עולה.

📐 הפונקציה 1 חלקי uבתחום שבו u לא מחליפה סימן, העלייה והירידה מתחלפות: מינימום של u הוא מקסימום של 1u

ל־u יש בדיוק אותה עלייה וירידה כמו ל־f (הזזה לא משנה עלייה וירידה). לכן נקרא מהציר של סעיף ב (2), בצד הימני 0 ≤ x ≤ π :

• בתחום 0 < x < π3 : f עולה, ולכן g יורדת אל −∞ ליד האסימפטוטה.

• בתחום π3 < x < π : f יורדת, ולכן g עולה מ־−∞ עד הקצה.

ב־x = 0 יש ל־f מינימום, ולכן ל־g יש מקסימום. ב־x = π יש ל־f מינימום קצה, ולכן ל־g יש מקסימום קצה.

שיעורי ה־y. מציבים ב־g את הערכים של f מסעיף ב (2):

g(x) = 1f(x) − 14

נציב f(0) = 0 :

g(0) = 10 − 14 = 1−14 = −4

נציב f(π) = −2 :

g(π) = 1−2 − 14 = 1−94 = −49

הפונקציה g זוגית, כמו f , ולכן גם (−π , −49) מקסימום קצה.

✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , −4) ; מקסימום קצה (−π , −49) , (π , −49)

סעיף ו – סקיצה של g(x)

מה שמצאנו: הגרף כולו מתחת לציר ה־x , כי u ≤ 0 . אסימפטוטות אנכיות x = ±π3 , ולידן g → −∞ .

מ־(−π , −49) הגרף יורד אל −∞ . בין −π3 ל־π3 הוא עולה מ־−∞ עד (0 , −4) ויורד שוב. מימין הוא עולה מ־−∞ עד (π , −49) .