שיעור 23 – פרמטר, חיתוך וקיצון מבגרות 571 – f(x) = cos(mx) + cos(2x)

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 571 · קיץ 2021 מועד מיוחד · שאלה 7 · סעיפים א–ב
פרמטר, חיתוך וקיצון מבגרות 571 – f(x) = cos(mx) + cos(2x)

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = cos(mx) + cos(2x) , m הוא פרמטר שונה מ־0.

נתון: f′(π4) = −2 .

א. הראו כי m = 4n , כאשר n הוא מספר שלם שונה מ־0.

הציבו m = 4 , וענו על סעיף ב.

ב. בתחום 0 ≤ x ≤ π :

(1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x) , וקבעו את סוגן.

✏️ פתרון

סעיף א – הוכחה ש־m = 4n

גוזרים כל איבר לפי הנוסחה לקוסינוס של ax ( m הוא מספר קבוע):

[cos(mx)]′ = −m · sin(mx)📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)[cos(ax + b)]′ = −a · sin(ax + b)

f′(x) = −m · sin(mx) − 2sin(2x)

נתון ערך הנגזרת ב־x = π4 . נכתוב את הנגזרת:

f′(x) = −m sin(mx) − 2sin(2x)

נציב x = π4 :

f′(π4) = −m sin(mπ4) − 2sin(2π4)

sin π2 = 1📐 ערך מיוחדsin π2 = 1

f′(π4) = −m · sin mπ4 − 2

לפי הנתון זה שווה ל־−2 :

−m · sin mπ4 − 2 = −2

−m · sin mπ4 = 0

מכפלה שווה 0, ו־m ≠ 0 , ולכן:

📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

sin mπ4 = 0

הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0. לפי הנוסחה ( n שלם):

mπ4 = 2πn📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

mπ4 = π + 2πn

שתי המשפחות יחד הן כל הכפולות של π (זוגיות ואי־זוגיות), כלומר:

mπ4 = πn

כופלים ב־4 ומחלקים ב־π :

m = 4n

ו־n ≠ 0 , כי m ≠ 0 . הוכח.

✅ פתרון סופי: הוכח: m = 4n , n שלם שונה מ־0

סעיף ב(1) – חיתוך עם הצירים

מציבים m = 4 :

f(x) = cos(4x) + cos(2x)

חיתוך עם ציר ה־y – נציב x = 0 :

f(0) = cos(4 · 0) + cos(2 · 0)

f(0) = 1 + 1 = 2

חיתוך עם ציר ה־x – משווים ל־0:

cos(4x) + cos(2x) = 0

הזווית 4x היא פי 2 מ־2x . כדי שתהיה רק זווית אחת, נכתוב את cos(4x) בעזרת cos(2x) (נוסחת הזווית הכפולה, כשהזווית היא 2x ):

cos(4x) + cos(2x) = 0

נציב cos(4x) = 2cos²(2x) − 1 :

📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 2cos²x − 1

2cos²(2x) − 1 + cos(2x) = 0

נסמן t = cos(2x) ונקבל משוואה ריבועית:

2t² + t − 1 = 0

t = −1 ± √(1 + 8)4 = −1 ± 34📐 נוסחת השורשיםt = −b ± √(b² − 4ac)2a

t = 12 , t = −1

אפשרות 1: cos(2x) = 12 . הזווית שהקוסינוס שלה 12 היא π3 :

2x = ±π3 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

x = ±π6 + πk

בתחום 0 ≤ x ≤ π : x = π6 ( k = 0 ) ו־x = −π6 + π = 5π6 ( k = 1 ).

אפשרות 2: cos(2x) = −1 . הזווית שהקוסינוס שלה −1 היא π :

2x = π + 2πk

x = π2 + πk

בתחום: x = π2 .

✅ פתרון סופי: ציר ה־y: (0 , 2) ; ציר ה־x: (π6 , 0) , (π2 , 0) , (5π6 , 0)

סעיף ב(2) – נקודות קיצון

הנגזרת (מסעיף א עם m = 4 ):

f′(x) = −4sin(4x) − 2sin(2x)

משווים ל־0. גם כאן יש זווית 4x וזווית 2x , ולכן נפתח את sin(4x) (הזווית הכפולה של 2x ):

−4sin(4x) − 2sin(2x) = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

נציב sin(4x) = 2sin(2x) · cos(2x) :

📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

−4 · 2sin(2x) · cos(2x) − 2sin(2x) = 0

−8sin(2x) · cos(2x) − 2sin(2x) = 0

גורם משותף −2sin(2x) :

−2sin(2x) · (4cos(2x) + 1) = 0

לכן sin(2x) = 0 או 4cos(2x) + 1 = 0

📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

אפשרות 1: sin(2x) = 0

2x = 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

2x = π + 2πk

x = πk , x = π2 + πk

בתחום: x = 0 , x = π2 , x = π .

אפשרות 2:

cos(2x) = −14

זו לא זווית מיוחדת – משתמשים במחשבון במצב רדיאנים (R על המסך): SHIFT cos ( − 1 ÷ 4 ) = ומקבלים 1.82 (מעוגל).

2x ≈ ±1.82 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

x ≈ ±0.91 + πk

בתחום: x ≈ 0.91 ( k = 0 ) ו־x ≈ −0.91 + π ≈ 2.23 ( k = 1 ).

(בערך 0.29π ו־0.71π .)

סוג הנקודות – נציב מספר מכל תחום בנגזרת המפורקת (במחשבון, מצב רדיאנים):

f′(x) = −2sin(2x) · (4cos(2x) + 1)

f′(0.5) ≈ −5.32 < 0

f′(1.2) ≈ 2.63 > 0

f′(1.9) ≈ −2.65 < 0

f′(2.6) ≈ 5.08 > 0

שיעורי y. בשתי נקודות המינימום cos(2x) = −14 . נכתוב את הפונקציה בעזרת cos(2x) (כמו בסעיף ב(1)):

f(x) = 2cos²(2x) − 1 + cos(2x)

f = 2 · cos²(2x) − 1 + cos(2x)

נציב cos(2x) = −14 :

f = 2 · (−14)² − 1 + (−14)

f = 216 − 1 − 14 = −98

בשאר הנקודות מציבים בפונקציה f(x) = cos(4x) + cos(2x) :

f(π2) = cos(4 · π2) + cos(2 · π2)

f(π2) = cos 2π + cos π = 1 − 1 = 0

f(π) = cos(4π) + cos(2π)

f(π) = 1 + 1 = 2

ו־f(0) = 2 (מסעיף ב(1)).

✅ פתרון סופי: מקסימום קצה (0 , 2) , מינימום (0.91 , −98) , מקסימום (π2 , 0) , מינימום (2.23 , −98) , מקסימום קצה (π , 2)

לבדיקה – הגרף

כך נראה הגרף בתחום – רואים את כל הנקודות שמצאנו (ב־π2 הגרף נוגע בציר ה־x ):

✅ פתרון סופי: הנקודות על הגרף מתאימות לתשובות

📌 סיכום

סעיף א	הוכח
סעיף ב(1)	(0 , 2) ; (π6 , 0) , (π2 , 0) , (5π6 , 0)
סעיף ב(2)	מקס. (0 , 2) , (π2 , 0) , (π , 2) ; מינ. (0.91 , −98) , (2.23 , −98)

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים