מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות
שיעור 32 – בגרות 482 חורף 2024 – שאלה 3
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 482 · חורף 2024 · שאלה 3
בגרות 482 חורף 2024 – שאלה 3
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = cos(2x) + 6sin x + a , a הוא פרמטר.
הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .
א. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן (הביעו את תשובותיכם באמצעות a , אם יש צורך).
נתון כי הישר y = 6 משיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת המקסימום המוחלט שלה.
ב. מצאו את הערך של הפרמטר a .
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) (הפונקציה f(x) חותכת את ציר ה־x בשתי נקודות).
ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי הישר y = 6 ועל ידי ציר ה־y .
✏️ פתרון
סעיף א – נקודות קיצון
הנגזרת – גוזרים כל איבר בנפרד:
[cos(2x)]′ = −2sin(2x)📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)[cos(ax)]′ = −a · sin(ax)
(6sin x)′ = 6cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
הנגזרת של a היא 0.
📐 נגזרת של קבועהנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0f′(x) = −2sin(2x) + 6cos x
משווים את הנגזרת ל־0. באיבר הראשון יש זווית 2x ובשני זווית x . כדי שתהיה אותה זווית ונוכל להוציא גורם משותף, נפתח את sin(2x) :
−2sin(2x) + 6cos x = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
−2 · sin(2x) + 6cos x = 0
נציב sin(2x) = 2sin x cos x :
📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x−2 · 2sin x cos x + 6cos x = 0
−4sin x cos x + 6cos x = 0
בשני האיברים יש 2cos x – מוציאים גורם משותף:
2cos x(−2sin x + 3) = 0
מכפלה שווה 0, לכן cos x = 0 או −2sin x + 3 = 0 .
📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0אפשרות 1: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :
x = π2 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos tx = t + 2πkx = −t + 2πk
x = −π2 + 2πk
בתחום 0 ≤ x ≤ 2π : מהמשפחה הראשונה עם k = 0 , ומהשנייה עם k = 1 :
x = π2 , x = −π2 + 2π = 3π2
אפשרות 2:
−2sin x + 3 = 0
sin x = 32
אין פתרון, כי הסינוס תמיד בין −1 ל־1, ו־32 > 1 .
קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(π4) = 2cos π4(−2sin π4 + 3)
f′(π4) ≈ 2.24 > 0
f′(π) = 2cos π(−2sin π + 3)
f′(π) = 2 · (−1) · 3 = −6 < 0
f′(7π4) = 2cos 7π4(−2sin 7π4 + 3)
f′(7π4) ≈ 6.24 > 0
שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = cos(2x) + 6sin x + a
נציב x = 0 :
f(0) = cos(2 · 0) + 6sin 0 + a
f(0) = 1 + 0 + a = 1 + a
נציב x = π2 :
f(π2) = cos(2 · π2) + 6sin π2 + a
f(π2) = cos π + 6 · 1 + a = 5 + a
נציב x = 3π2 :
f(3π2) = cos(2 · 3π2) + 6sin 3π2 + a
f(3π2) = cos(3π) + 6 · (−1) + a
הזווית 3π היא π ועוד סיבוב שלם, ולכן cos(3π) = cos π = −1 :
f(3π2) = −1 − 6 + a = −7 + a
נציב x = 2π :
f(2π) = cos(2 · 2π) + 6sin 2π + a
f(2π) = cos(4π) + 0 + a = 1 + a
✅ פתרון סופי:
מינימום קצה: (0 , 1 + a)
מקסימום: (π2 , 5 + a)
מינימום: (3π2 , −7 + a)
מקסימום קצה: (2π , 1 + a)
מינימום קצה: (0 , 1 + a)
מקסימום: (π2 , 5 + a)
מינימום: (3π2 , −7 + a)
מקסימום קצה: (2π , 1 + a)
סעיף ב – הערך של a
יש שתי נקודות מקסימום: (π2 , 5 + a) ו־(2π , 1 + a) . מכיוון ש־5 + a > 1 + a , המקסימום המוחלט הוא (π2 , 5 + a) .
הישר y = 6 משיק לגרף בנקודה זו, ולכן שיעור ה־y שלה הוא 6:
5 + a = 6
a = 1
✅ פתרון סופי: a = 1
סעיף ג – סקיצה
נציב a = 1 בשיעורי הנקודות מסעיף א:
1 + a = 1 + 1 = 2
5 + a = 5 + 1 = 6
−7 + a = −7 + 1 = −6
מינימום קצה (0 , 2) , מקסימום (π2 , 6) , מינימום (3π2 , −6) , מקסימום קצה (2π , 2) .
החיתוך עם ציר y הוא (0 , 2) . לפי הנתון, הגרף חותך את ציר x בשתי נקודות: פעם בירידה מ־6 ל־−6 , ופעם בעלייה מ־−6 ל־2.
מחברים לפי הציר: עולה, יורדת, עולה.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – שטח
הישר y = 6 משיק לגרף בנקודת המקסימום (π2 , 6) . השטח נמצא בין ציר y , שהוא הישר x = 0 , לבין x = π2 – מתחת לישר ומעל הגרף:
בתחום הזה הישר y = 6 הוא העליון (6 הוא הערך הגדול ביותר של f), והגרף f(x) הוא התחתון.
השטח הוא האינטגרל של ההפרש בין העליון לתחתון.
📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba[f(x) − g(x)] dxf(x) – הגרף העליון , g(x) – הגרף התחתוןההפרש בין הישר לגרף, אחרי פתיחת סוגריים:
6 − f(x) = 6 − cos(2x) − 6sin x − 1
6 − f(x) = 5 − cos(2x) − 6sin x
S = ∫π20(5 − cos(2x) − 6sin x) dx
פונקציה קדומה של כל איבר:
📐 פונקציה קדומה∫k dx = kx + C∫cos(ax) dx = 1asin(ax) + C∫sin x dx = −cos x + Cנקרא לפונקציה הקדומה G(x) :
G(x) = 5x − 12sin(2x) + 6cos x
S = G(π2) − G(0)
נציב x = π2 (הגבול העליון) בכל איבר:
5 · π2 = 5π2
12sin(2 · π2) = 12sin π = 0
6cos π2 = 6 · 0 = 0
G(π2) = 5π2 − 0 + 0 = 5π2
נציב x = 0 (הגבול התחתון) בכל איבר:
5 · 0 = 0
12sin(2 · 0) = 12sin 0 = 0
6cos 0 = 6 · 1 = 6
G(0) = 0 − 0 + 6 = 6
השטח = הגבול העליון פחות הגבול התחתון:
S = 5π2 − 6 ≈ 1.85
✅ פתרון סופי: S = 5π2 − 6 ≈ 1.85
📌 סיכום
| סעיף א | מינ. קצה (0 , 1 + a) , מקס. (π2 , 5 + a) , מינ. (3π2 , −7 + a) , מקס. קצה (2π , 1 + a) |
|---|---|
| סעיף ב | a = 1 |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | S = 5π2 − 6 ≈ 1.85 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il