מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות
שיעור 22 – תחום הגדרה, חיתוך וקיצון מבגרות 571 – פונקציה עם cos x במכנה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 571 · קיץ 2022 מועד א׳ · שאלה 7 · סעיפים א–ב
תחום הגדרה, חיתוך וקיצון מבגרות 571 – פונקציה עם cos x במכנה
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 2(cos x)2 + sin 2x2cos x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x) .
(2) הסבירו מדוע לפונקצייה f(x) אין אסימפטוטות המאונכות לציר ה־x .
(3) מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.
ב. (1) הראו כי לכל x בתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x) מתקיים: f′(x) = cos x − sin x .
(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x) , וקבעו את סוגן.
✏️ פתרון
סעיף א(1) – תחום הגדרה
יש שבר – המכנה חייב להיות שונה מ־0:
2cos x ≠ 0
cos x ≠ 0
נמצא איפה cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :
x = π2 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk
x = −π2 + 2πk
בתחום 0 ≤ x ≤ 2π : מהמשפחה הראשונה x = π2 ( k = 0 ), ומהשנייה x = −π2 + 2π = 3π2 ( k = 1 ). לכן:
x ≠ π2 , x ≠ 3π2
✅ פתרון סופי: 0 ≤ x ≤ 2π , x ≠ π2 , x ≠ 3π2
סעיף א(2) – אין אסימפטוטות אנכיות
נפשט את הפונקציה. במונה יש sin 2x , ונפתח אותו כדי שיהיה גורם משותף עם המכנה:
f(x) = 2cos2x + sin 2x2cos x
נציב sin 2x = 2sin x · cos x :
📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos xf(x) = 2cos2x + 2sin x · cos x2cos x
במונה מוציאים גורם משותף 2cos x :
f(x) = 2cos x · (cos x + sin x)2cos x
בתחום ההגדרה cos x ≠ 0 , ולכן מותר לצמצם ב־2cos x :
f(x) = cos x + sin x
אסימפטוטה אנכית יכולה להיות רק ב־x = π2 או x = 3π2 , שם המכנה מתאפס. אבל שם גם המונה מתאפס (יש בו את הגורם 2cos x ), והפונקציה המצומצמת מתקרבת לערך סופי:
cos π2 + sin π2 = 0 + 1 = 1
cos 3π2 + sin 3π2 = 0 − 1 = −1
הפונקציה לא שואפת לאינסוף, ולכן אין אסימפטוטות אנכיות. בנקודות האלה יש בגרף "חורים".
✅ פתרון סופי: הגורם 2cos x מצטמצם; ב־x = π2 , 3π2 הפונקציה מתקרבת ל־1 ול־−1 (חורים), ולכן אין אסימפטוטות אנכיות
סעיף א(3) – חיתוך עם הצירים
מעכשיו נעבוד עם הצורה המצומצמת. נכתוב אותה:
f(x) = cos x + sin x
חיתוך עם ציר ה־y – נציב x = 0 :
f(0) = cos 0 + sin 0 = 1 + 0 = 1
חיתוך עם ציר ה־x – משווים את הפונקציה ל־0:
cos x + sin x = 0
sin x = −cos x
מחלקים ב־cos x (בתחום ההגדרה הוא שונה מ־0):
sin xcos x = −1📐 טנגנסtan x = sin xcos x
tan x = −1
tan(−π4) = −1📐 ערך מיוחדtan π4 = 1tan(−π4) = −1
x = −π4 + πk📐 פתרון המשוואה tan x = tan ax = a + πk
בתחום 0 ≤ x ≤ 2π נציב k = 1 ו־k = 2 :
x = −π4 + π = 3π4
x = −π4 + 2π = 7π4
✅ פתרון סופי: (0 , 1) , (3π4 , 0) , (7π4 , 0)
סעיף ב(1) – הנגזרת
בתחום ההגדרה f(x) = cos x + sin x (מסעיף א(2)). גוזרים כל איבר:
(cos x)′ = −sin x📐 נגזרות של סינוס וקוסינוס(sin x)′ = cos x(cos x)′ = −sin x
f′(x) = −sin x + cos x
f′(x) = cos x − sin x
✅ פתרון סופי: הוכח: f′(x) = cos x − sin x
סעיף ב(2) – נקודות קיצון
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:
cos x − sin x = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
cos x = sin x
מחלקים ב־cos x (שונה מ־0 בתחום ההגדרה):
tan x = 1📐 טנגנסtan x = sin xcos x
x = π4 + πk📐 פתרון המשוואה tan x = tan ax = a + πk
בתחום נציב k = 0 ו־k = 1 :
x = π4 , x = 5π4
סוג הנקודות – ציר עם הנקודות וקצות התחום. הנקודות π2 ו־3π2 (החורים) לא בתחום, אבל הנגזרת לא מחליפה בהן סימן, לכן אין צורך לסמן אותן. נציב מספר מכל תחום:
f′(π6) = √32 − 12 ≈ 0.37 > 0
f′(π) = −1 − 0 = −1 < 0
f′(7π4) = √22 − (−√22) = √2 > 0
שיעורי y – מציבים ב־f(x) = cos x + sin x :
f(π4) = cos π4 + sin π4
cos π4 = sin π4 = √22📐 ערך מיוחדcos π4 = sin π4 = √22
f(π4) = √22 + √22 = √2 ≈ 1.41
f(5π4) = cos 5π4 + sin 5π4
f(5π4) = −√22 − √22 = −√2 ≈ −1.41
קצות התחום:
f(0) = cos 0 + sin 0 = 1
f(2π) = cos 2π + sin 2π = 1
✅ פתרון סופי: מקסימום (π4 , √2) , מינימום (5π4 , −√2) , מינימום קצה (0 , 1) , מקסימום קצה (2π , 1)
📌 סיכום
| סעיף א(1) | x ≠ π2 , x ≠ 3π2 |
|---|---|
| סעיף א(2) | חורים, לא אסימפטוטות |
| סעיף א(3) | (0 , 1) , (3π4 , 0) , (7π4 , 0) |
| סעיף ב(1) | הוכח |
| סעיף ב(2) | מקס. (π4 , √2) , מינ. (5π4 , −√2) , קצוות (0 , 1) , (2π , 1) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il