שיעור 15 – נקודות קיצון – דוגמה נוספת עם זהות

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

נקודות קיצון עם זהות – f(x) = 2sin x + cos 2x

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2sin x + cos 2x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .

א. מצאו את f′(x) .

ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון, וקבעו את סוגן.

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

✏️ פתרון

סעיף א – הנגזרת

גוזרים כל איבר בנפרד:

(2sin x)′ = 2cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x

באיבר השני יש 2x , ולכן כופלים בנגזרת הפנימית 2:

(cos 2x)′ = −2sin 2x📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)[cos(ax + b)]′ = −a · sin(ax + b)

f′(x) = 2cos x − 2sin 2x

✅ פתרון סופי: f′(x) = 2cos x − 2sin 2x

סעיף ב – נקודות קיצון

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת, ולכן משווים את הנגזרת ל־0:

2cos x − 2sin 2x = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

במשוואה יש זווית x וזווית 2x . כדי להוציא גורם משותף צריך זווית אחת בלבד, ולכן נפתח את sin 2x לפי הזהות. נסמן את מה שנחליף:

2cos x − 2sin 2x = 0

נציב sin 2x = 2sin x · cos x :

2cos x − 2 · 2sin x · cos x = 0📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

2cos x − 4sin x · cos x = 0

בשני האיברים יש 2cos x – נוציא אותו כגורם משותף:

2cos x(1 − 2sin x) = 0

cos x = 0📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

1 − 2sin x = 0

הגורם הראשון:

cos π2 = 0📐 ערך מיוחדcos π2 = 0

x = π2 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

x = −π2 + 2πk

עבור k = 0 מקבלים x = π2 . במשפחה השנייה k = 1 נותן:

x = −π2 + 2π = 3π2

הגורם השני:

−2sin x = −1

sin x = 12

sin π6 = 12📐 ערך מיוחדsin π6 = 12

x = π6 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk

עבור k = 0 :

x = π6 , x = 5π6

עבור k = 1 מקבלים מספרים גדולים מ־2π . לכן יש ארבעה פתרונות בתחום.

קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את ארבע הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום. נוח להציב בנגזרת המפורקת:

f′(x) = 2cos x(1 − 2sin x)

f′(π12) ≈ 2 · 0.97 · 0.48 ≈ 0.93 > 0

f′(π3) = 2 · 12 · (1 − √3) ≈ −0.73 < 0

f′(2π3) = 2 · (−12) · (1 − √3) ≈ 0.73 > 0

f′(π) = 2 · (−1) · (1 − 0) = −2 < 0

f′(7π4) = 2 · √22 · (1 + √2) ≈ 3.41 > 0

שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:

f(x) = 2sin x + cos(2x)

נציב x = π6 :

f(π6) = 2sin π6 + cos(2 · π6)

f(π6) = 2 · 12 + cos π3📐 ערך מיוחדsin π6 = 12

f(π6) = 1 + 12 = 32📐 ערך מיוחדcos π3 = 12

נציב x = π2 :

f(π2) = 2sin π2 + cos(2 · π2)

f(π2) = 2 · 1 + cos π = 2 − 1 = 1📐 ערכים מיוחדיםsin π2 = 1cos π = −1

נציב x = 5π6 :

f(5π6) = 2sin 5π6 + cos(2 · 5π6)

f(5π6) = 2sin 5π6 + cos 5π3

sin 5π6 = sin π6 = 12📐 זוויות שסכומן πsin(π − x) = sin x

cos 5π3 = cos π3 = 12📐 קוסינוס של 2π פחות זוויתcos(2π − t) = cos t

f(5π6) = 2 · 12 + 12 = 32

נציב x = 3π2 :

f(3π2) = 2sin 3π2 + cos(2 · 3π2)

f(3π2) = 2 · (−1) + cos 3π📐 ערך מיוחדsin 3π2 = −1

cos 3π = cos π = −1📐 המחזור של קוסינוסcos(t + 2π) = cos t

f(3π2) = −2 − 1 = −3

נציב את קצה התחום x = 0 :

f(0) = 2sin 0 + cos(2 · 0)

f(0) = 2 · 0 + cos 0 = 1

נציב את קצה התחום x = 2π :

f(2π) = 2sin 2π + cos(2 · 2π)

f(2π) = 2 · 0 + cos 4π = 1

✅ פתרון סופי:
מקסימום (π6 , 32)
מקסימום (5π6 , 32)
מינימום (π2 , 1)
מינימום (3π2 , −3)
מינימום קצה (0 , 1)
מקסימום קצה (2π , 1)

סעיף ג – תחומי עלייה וירידה

קוראים מהציר: איפה ש־f′(x) > 0 הפונקציה עולה, ואיפה ש־f′(x) < 0 היא יורדת.

עולה: 0 < x < π6 , π2 < x < 5π6 , 3π2 < x < 2π

📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘

יורדת: π6 < x < π2 , 5π6 < x < 3π2

✅ פתרון סופי:
עולה: 0 < x < π6 , π2 < x < 5π6 , 3π2 < x < 2π
יורדת: π6 < x < π2 , 5π6 < x < 3π2

סעיף ד – סקיצה

מסמנים את שש הנקודות שמצאנו ומחברים לפי העלייה והירידה:

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

📌 סיכום

סעיף א	f′(x) = 2cos x − 2sin 2x
סעיף ב	מקס. (π6 , 32) , (5π6 , 32) מינ. (π2 , 1) , (3π2 , −3) קצוות (0 , 1) , (2π , 1)
סעיף ג	עולה 0 < x < π6 , π2 < x < 5π6 , 3π2 < x < 2π יורדת π6 < x < π2 , 5π6 < x < 3π2
סעיף ד	סקיצה

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים