מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות
שיעור 26 – בגרות 482 חורף 2026 – שאלה 3
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 482 · חורף 2026 · שאלה 3
בגרות 482 חורף 2026 – שאלה 3
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = cos(3x) + a המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π3 . a הוא פרמטר.
א. מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.
נתון כי שיעור ה־y של נקודת המינימום של הפונקציה f(x) הוא −1.5 .
ב. מצא את הערך של a .
הצב a = −0.5 , וענה על הסעיפים ג–ה.
ג. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x .
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
דרך נקודת המינימום של הפונקציה f(x) העבירו משיק לגרף הפונקציה.
ה. (1) מצא את משוואת המשיק.
(2) מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי המשיק ועל ידי ציר ה־y .
✏️ פתרון
סעיף א – נקודות קיצון
גוזרים. הנגזרת של הקבוע a היא 0:
[cos(3x)]′ = −3sin(3x)📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)[cos(ax)]′ = −a · sin(ax)
f′(x) = −3sin(3x)
בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת:
−3sin(3x) = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
sin(3x) = 0
הסינוס מתאפס בכל כפולה של π . כאן הזווית היא 3x :
3x = πk📐 פתרון המשוואה sin x = 0x = πk
מחלקים ב־3:
x = πk3
מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ 2π3 :
k = 0 : x = 0
k = 1 : x = π3
k = 2 : x = 2π3
עבור k = 3 מקבלים x = π – מחוץ לתחום. שתי הנקודות x = 0 ו־x = 2π3 הן קצות התחום.
קביעת סוג הנקודות – מציבים בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(π6) = −3sin π2 = −3 < 0
f′(π2) = −3sin 3π2 = 3 > 0
✅ פתרון סופי:
מקסימום (קצה) ב־x = 0
מינימום ב־x = π3
מקסימום (קצה) ב־x = 2π3
מקסימום (קצה) ב־x = 0
מינימום ב־x = π3
מקסימום (קצה) ב־x = 2π3
סעיף ב – הערך של a
נקודת המינימום היא ב־x = π3 , ושיעור ה־y שלה הוא −1.5 . נכתוב את הפונקציה:
f(x) = cos(3 · x) + a
נציב x = π3 :
f(π3) = cos(3 · π3) + a
f(π3) = cos π + a = −1 + a
משווים ל־−1.5 :
−1 + a = −1.5
a = −0.5
✅ פתרון סופי: a = −0.5
סעיף ג – נקודות חיתוך עם ציר ה־x
מציבים a = −0.5 :
f(x) = cos(3x) − 0.5
בנקודת חיתוך עם ציר ה־x מתקיים f(x) = 0 :
cos(3x) − 0.5 = 0
cos(3x) = 12
הזווית שהקוסינוס שלה 12 היא π3 . כאן הזווית היא 3x :
3x = π3 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk
3x = −π3 + 2πk
מחלקים כל משוואה ב־3:
x = π9 + 2πk3
x = −π9 + 2πk3
מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ 2π3 , כלומר עד 2π3 = 6π9 :
k = 0 : x = π9
k = 1 : x = −π9 + 6π9 = 5π9
שאר הפתרונות: x = −π9 שלילי, ו־π9 + 6π9 = 7π9 גדול מ־6π9 .
✅ פתרון סופי:
(π9 , 0)
(5π9 , 0)
(π9 , 0)
(5π9 , 0)
סעיף ד – סקיצה
נחשב את ערכי הפונקציה בקצוות ובנקודת המינימום:
f(0) = cos(3 · 0) − 0.5
f(0) = 1 − 0.5 = 0.5
f(π3) = cos(3 · π3) − 0.5
f(π3) = cos π − 0.5 = −1.5
f(2π3) = cos(3 · 2π3) − 0.5
f(2π3) = cos 2π − 0.5 = 0.5
מסמנים את הנקודות ואת נקודות החיתוך, ומחברים: יורדת עד המינימום ואז עולה.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ה – משיק ושטח
(1) משוואת המשיק – השיפוע של המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה. נקודת ההשקה היא נקודת המינימום (π3 , −1.5) , ושם הנגזרת מתאפסת:
m = f′(π3) = 0📐 משוואת משיקy − y1 = m(x − x1)m = f′(x1)
נציב במשוואת המשיק את הנקודה (π3 , −1.5) ואת m = 0 :
y − y1 = m(x − x1)
y − (−1.5) = 0 · (x − π3)
y + 1.5 = 0
y = −1.5
זה ישר אופקי שעובר דרך נקודת המינימום.
(2) השטח – השטח נמצא בין ציר ה־y (x = 0) לבין נקודת ההשקה (x = π3). בתחום הזה גרף הפונקציה מעל המשיק (כי המשיק עובר דרך הערך הנמוך ביותר של הפונקציה):
S = ∫0π3 [f(x) − (−1.5)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ab (עליון − תחתון) dx
S = ∫0π3 (cos(3x) − 0.5 + 1.5) dx
S = ∫0π3 (cos(3x) + 1) dx
∫(cos(3x) + 1) dx = 13sin(3x) + x + C📐 פונקציה קדומה∫cos(ax) dx = 1asin(ax) + C∫k dx = kx + C
מציבים את הגבולות – קודם העליון ואחר כך התחתון:
נסמן את הפונקציה הקדומה ב־G(x) :
G(x) = 13sin(3x) + x
S = G(π3) − G(0)
נציב את הגבול העליון x = π3 :
G(π3) = 13sin(3 · π3) + π3
G(π3) = 13sin π + π3 = π3
נציב את הגבול התחתון x = 0 :
G(0) = 13sin(3 · 0) + 0 = 0
S = π3 − 0 = π3 ≈ 1.05
✅ פתרון סופי:
(1) y = −1.5
(2) S = π3 ≈ 1.05
(1) y = −1.5
(2) S = π3 ≈ 1.05
📌 סיכום
| סעיף א | מקס. קצה x = 0 מינ. x = π3 מקס. קצה x = 2π3 |
|---|---|
| סעיף ב | a = −0.5 |
| סעיף ג | (π9 , 0) (5π9 , 0) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | (1) y = −1.5 (2) S = π3 ≈ 1.05 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il