מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות
שיעור 10 – נגזרת של מכפלה, מנה וחזקה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
נגזרת של מכפלה, מנה וחזקה
📄 נוסח השאלה
בכל סעיף נתונה פונקציה. מצאו את הנגזרת שלה, ופשטו ככל האפשר.
א. f(x) = x · sin x
ב. f(x) = sin2x . רשמו את הנגזרת בעזרת זווית כפולה.
ג. f(x) = cos3x . מצאו גם את f′(π3) .
ד. f(x) = √sin x בתחום 0 < x < π
ה. f(x) = 1cos x
ו. f(x) = sin x1 + cos x
✏️ פתרון
הסבר – מכפלה, מנה, חזקה ושורש
כשפונקציות טריגונומטריות כופלות זו את זו, מחלקות זו את זו, או נמצאות בתוך חזקה או שורש – גוזרים לפי אותם כללים שאנחנו מכירים:
מכפלה של שתי פונקציות:📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
מנה (שבר):📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
ביטוי בחזקה – כופלים גם בנגזרת הפנימית:📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)[un]′ = n · un−1 · u′
שורש של ביטוי:📐 נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
שימו לב: sin2x פירושו (sin x)2 – הסינוס כולו בריבוע. לכן זו חזקה, והנגזרת הפנימית היא (sin x)′ = cos x .
אחרי הגזירה כדאי לבדוק אם זהות מוכרת מקצרת את התשובה.
סעיף א – מכפלה
זו מכפלה של שתי פונקציות: u = x ו־v = sin x . נגזור כל אחת:
u′ = 1
v′ = cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
לפי כלל המכפלה:
f′(x) = 1 · sin x + x · cos x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
f′(x) = sin x + x cos x
✅ פתרון סופי: f′(x) = sin x + x cos x
סעיף ב – ריבוע של סינוס
נכתוב sin2x = (sin x)2 . זו חזקה 2 של u = sin x , והנגזרת הפנימית היא u′ = cos x :
f′(x) = 2 · (sin x)1 · cos x📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)[un]′ = n · un−1 · u′
f′(x) = 2sin x · cos x
הביטוי 2sin x · cos x הוא בדיוק הסינוס של הזווית הכפולה:
f′(x) = sin 2x📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x
✅ פתרון סופי: f′(x) = sin 2x
סעיף ג – חזקה שלישית
נכתוב cos3x = (cos x)3 . זו חזקה 3 של u = cos x :
u′ = −sin x📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
f′(x) = 3cos2x · (−sin x)📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)[un]′ = n · un−1 · u′
f′(x) = −3cos2x · sin x
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
f′(x) = −3cos2x · sin x
נציב x = π3 :
f′(π3) = −3cos2π3 · sin π3
f′(π3) = −3 · (12)2 · √32📐 ערכים מיוחדיםcos π3 = 12sin π3 = √32
f′(π3) = −3 · 14 · √32
f′(π3) = −3√38 ≈ −0.65
✅ פתרון סופי: f′(x) = −3cos2x · sin x
f′(π3) = −3√38 ≈ −0.65
f′(π3) = −3√38 ≈ −0.65
סעיף ד – שורש
זה שורש של u = sin x . הנגזרת הפנימית:
u′ = cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
לפי כלל השורש:
f′(x) = cos x2√sin x📐 נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
בתחום 0 < x < π הסינוס חיובי, ולכן אין בעיה במכנה.
✅ פתרון סופי: f′(x) = cos x2√sin x
סעיף ה – אחד חלקי קוסינוס
זה שבר: u = 1 במונה ו־v = cos x במכנה. נגזור כל אחד:
u′ = 0📐 נגזרת של מספר(c)′ = 0
v′ = −sin x📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
לפי כלל המנה, נחשב קודם את שני החלקים של המונה:
u′v = 0 · cos x = 0📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
uv′ = 1 · (−sin x) = −sin x
u′v − uv′ = 0 − (−sin x) = sin x
המכנה הוא v2 = cos2x , ולכן:
f′(x) = sin xcos2x
✅ פתרון סופי: f′(x) = sin xcos2x
סעיף ו – מנה וזהות
זה שבר: u = sin x במונה ו־v = 1 + cos x במכנה. נגזור כל אחד:
u′ = cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
v′ = −sin x📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
לפי כלל המנה, נחשב קודם את שני החלקים של המונה:
u′v = cos x(1 + cos x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
uv′ = sin x · (−sin x) = −sin2x
נחסר, ונפתח את הסוגריים:
u′v − uv′ = cos x + cos2x + sin2x
הסכום cos2x + sin2x שווה 1:
u′v − uv′ = cos x + 1📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
המכנה הוא v2 = (1 + cos x)2 , ולכן:
f′(x) = 1 + cos x(1 + cos x)2
מצמצמים את 1 + cos x מהמונה ומהמכנה:
f′(x) = 11 + cos x
✅ פתרון סופי: f′(x) = 11 + cos x
📌 סיכום
| סעיף א | f′(x) = sin x + x cos x |
|---|---|
| סעיף ב | f′(x) = sin 2x |
| סעיף ג | f′(x) = −3cos2x · sin x f′(π3) ≈ −0.65 |
| סעיף ד | f′(x) = cos x2√sin x |
| סעיף ה | f′(x) = sin xcos2x |
| סעיף ו | f′(x) = 11 + cos x |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il