שיעור 30 – בגרות 482 קיץ 2024 מועד ב׳ – שאלה 3

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 482 · קיץ 2024 מועד ב׳ · שאלה 3
בגרות 482 קיץ 2024 מועד ב׳ – שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = (cos x)² − 2sin x − 2 , המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .

א. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ג. מצאו את תחום החיוביות של פונקציית הנגזרת f′(x) .

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה −f(x) .

נתונה הפונקציה g(x) = −f(x) − 1 .

ה. קבעו כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x . נמקו את קביעתכם.

✏️ פתרון

סעיף א – נקודות קיצון

הנגזרת – גוזרים כל איבר בנפרד. האיבר הראשון הוא חזקה של cos x :

[(cos x)²]′ = 2cos x · (cos x)′📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)[uⁿ]′ = n · uⁿ⁻¹ · u′

[(cos x)²]′ = 2cos x · (−sin x)📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x

[(cos x)²]′ = −2sin x cos x

(−2sin x)′ = −2cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x

הנגזרת של −2 היא 0.

📐 נגזרת של קבועהנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0

f′(x) = −2sin x cos x − 2cos x

משווים את הנגזרת ל־0. בשני האיברים יש −2cos x , ולכן מוציאים גורם משותף:

−2sin x cos x − 2cos x = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

−2cos x(sin x + 1) = 0

מכפלה שווה 0, לכן cos x = 0 או sin x + 1 = 0 .

📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

אפשרות 1: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :

x = π2 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

x = −π2 + 2πk

בתחום 0 ≤ x ≤ 2π : מהמשפחה הראשונה עם k = 0 , ומהשנייה עם k = 1 :

x = π2 , x = −π2 + 2π = 3π2

אפשרות 2: sin x + 1 = 0 :

sin x = −1

הסינוס שווה −1 רק בנקודה הנמוכה של מעגל היחידה, ובתחום זה:

x = 3π2

זה אותו פתרון שכבר מצאנו. לכן הנקודות החשודות הן x = π2 ו־x = 3π2 , ועוד קצות התחום x = 0 ו־x = 2π .

קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל תחום:

f′(π4) = −2cos π4(sin π4 + 1)

f′(π4) ≈ −2.41 < 0

f′(π) = −2cos π(sin π + 1) = 2 > 0

f′(7π4) = −2cos 7π4(sin 7π4 + 1)

f′(7π4) ≈ −0.41 < 0

שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:

f(x) = (cos x)² − 2sin x − 2

נציב x = 0 :

f(0) = (cos 0)² − 2sin 0 − 2

f(0) = 1² − 0 − 2 = −1

נציב x = π2 :

f(π2) = (cos π2)² − 2sin π2 − 2

f(π2) = 0² − 2 · 1 − 2 = −4

נציב x = 3π2 :

f(3π2) = (cos 3π2)² − 2sin 3π2 − 2

f(3π2) = 0² − 2 · (−1) − 2 = 0

נציב x = 2π :

f(2π) = (cos 2π)² − 2sin 2π − 2

f(2π) = 1² − 0 − 2 = −1

✅ פתרון סופי:
מקסימום קצה: (0 , −1)
מינימום: (π2 , −4)
מקסימום: (3π2 , 0)
מינימום קצה: (2π , −1)

סעיף ב – סקיצה של f(x)

מסמנים את הנקודות מסעיף א: (0 , −1) , (π2 , −4) , (3π2 , 0) , (2π , −1) .

נקודת המקסימום (3π2 , 0) נמצאת על ציר x : הגרף נוגע בציר שם, ובכל שאר התחום הוא מתחת לציר. נקודת החיתוך עם ציר y היא (0 , −1) .

מחברים לפי הציר: יורדת, עולה, יורדת.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – תחום החיוביות של f′(x)

תחום החיוביות של f′(x) הוא התחום שבו f′(x) > 0 . קוראים אותו מהציר של סעיף א – זה התחום שבו הפונקציה עולה:

סימן + על הציר: בין π2 ל־3π2

📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘

π2 < x < 3π2

✅ פתרון סופי: π2 < x < 3π2

סעיף ד – סקיצה של −f(x)

הגרף של −f(x) הוא שיקוף של הגרף של f(x) ביחס לציר x : שיעור ה־x נשאר, ושיעור ה־y מחליף סימן.

כל נקודה (x , y) עוברת ל־(x , −y) .

📐 שיקוף ביחס לציר xy = −f(x) – שיקוף של f(x) ביחס לציר x

לכן מקסימום הופך למינימום, ולהפך:

(0 , −1) → (0 , 1)

(π2 , −4) → (π2 , 4)

(3π2 , 0) → (3π2 , 0)

(2π , −1) → (2π , 1)

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – חיתוך של g(x) עם ציר x

הגרף של g(x) = −f(x) − 1 הוא הגרף של −f(x) מוזז ביחידה אחת כלפי מטה: כל שיעור y קטן ב־1.

(0 , 1) → (0 , 0)

(π2 , 4) → (π2 , 3)

(3π2 , 0) → (3π2 , −1)

(2π , 1) → (2π , 0)

נעבור על התחומים לפי סדר:

• בקצה x = 0 מתקיים g(0) = 0 – נקודת חיתוך עם ציר x .

• בתחום 0 < x < π2 הפונקציה g עולה מ־0 ל־3, ולכן חיובית ואין חיתוך.

• בתחום π2 < x < 3π2 הפונקציה g יורדת מ־3 (חיובי) ל־−1 (שלילי), ולכן חותכת את ציר x בדיוק פעם אחת.

• בתחום 3π2 < x < 2π הפונקציה g עולה מ־−1 ל־0, ולכן שלילית ואין חיתוך.

• בקצה x = 2π מתקיים g(2π) = 0 – נקודת חיתוך עם ציר x .

סך הכול:

1 + 1 + 1 = 3

✅ פתרון סופי: 3 נקודות חיתוך עם ציר x

📌 סיכום

סעיף א	מקס. קצה (0 , −1) , מינ. (π2 , −4) , מקס. (3π2 , 0) , מינ. קצה (2π , −1)
סעיף ב	סקיצה
סעיף ג	π2 < x < 3π2
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	3 נקודות חיתוך

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים