מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות
שיעור 8 – נגזרת של sin x ושל cos x
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
נגזרת של sin x ושל cos x
📄 נוסח השאלה
בכל סעיף נתונה פונקציה. מצאו את מה שמבוקש.
א. f(x) = 5sin x − 3cos x . מצאו את f′(x) .
ב. f(x) = 3sin x − 2cos x + x2 . מצאו את f′(x) ואת f′(π3) .
ג. f(x) = 4cos x + 2x − 1 . מצאו את f′(π6) ואת f′(π) .
ד. f(x) = sin x + cos x . מצאו את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x = π4 . מה אפשר לומר על המשיק?
ה. f(x) = 2sin x − x . מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x = π2 .
✏️ פתרון
הסבר – הנגזרות של sin x ושל cos x
גם לפונקציות טריגונומטריות יש נגזרת. שתי הנגזרות הבסיסיות שצריך לזכור:
(sin x)′ = cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = −sin x📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
שימו לב לסימן המינוס בנגזרת של cos x – זו הטעות הנפוצה ביותר.
הכללים שאנחנו מכירים מפולינומים ממשיכים לעבוד: מספר שכופל את הפונקציה נשאר, ובסכום או בהפרש גוזרים כל איבר בנפרד. לדוגמה:
(3sin x − 2cos x)′ = 3cos x + 2sin x📐 כפל במספר וסכום(k · f)′ = k · f′(f + g)′ = f′ + g′
את x מציבים תמיד ברדיאנים (עם π). כשמשתמשים במחשבון, עובדים במצב רדיאנים (על המסך מופיע R).
סעיף א – גזירה איבר איבר
גוזרים כל איבר בנפרד. המספר שכופל את הפונקציה נשאר:
(5sin x)′ = 5cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
(−3cos x)′ = −3 · (−sin x)📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
(−3cos x)′ = 3sin x
f′(x) = 5cos x + 3sin x
✅ פתרון סופי: f′(x) = 5cos x + 3sin x
סעיף ב – נגזרת וערך בנקודה
גוזרים כל איבר בנפרד:
(3sin x)′ = 3cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
(−2cos x)′ = −2 · (−sin x)📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
(−2cos x)′ = 2sin x
(x2)′ = 2x📐 נגזרת של חזקה(xn)′ = n · xn−1
f′(x) = 3cos x + 2sin x + 2x
כדי למצוא את f′(π3) נכתוב את הנגזרת ונסמן את המקומות של x :
f′(x) = 3cos x + 2sin x + 2x
נציב x = π3 :
f′(π3) = 3cos π3 + 2sin π3 + 2 · π3
f′(π3) = 3 · 12 + 2 · √32 + 2π3📐 ערכים מיוחדיםcos π3 = 12sin π3 = √32
f′(π3) = 32 + √3 + 2π3 ≈ 5.33
✅ פתרון סופי: f′(x) = 3cos x + 2sin x + 2x
f′(π3) = 32 + √3 + 2π3 ≈ 5.33
f′(π3) = 32 + √3 + 2π3 ≈ 5.33
סעיף ג – ערך הנגזרת בנקודות
קודם גוזרים:
(4cos x)′ = 4 · (−sin x)📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
(4cos x)′ = −4sin x
(2x − 1)′ = 2 − 0 = 2📐 נגזרת של מספר ושל ax(c)′ = 0(ax)′ = a
f′(x) = −4sin x + 2
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
f′(x) = −4sin x + 2
נציב x = π6 :
f′(π6) = −4sin π6 + 2
f′(π6) = −4 · 12 + 2 = 0📐 ערך מיוחדsin π6 = 12
נציב x = π :
f′(π) = −4sin π + 2
f′(π) = −4 · 0 + 2 = 2📐 ערך מיוחדsin π = 0
הנגזרת מתאפסת ב־x = π6 . בנקודה כזאת המשיק אופקי, וזו מועמדת להיות נקודת קיצון – נלמד את זה בהמשך הפרק.
✅ פתרון סופי: f′(π6) = 0
f′(π) = 2
f′(π) = 2
סעיף ד – שיפוע משיק
שיפוע המשיק בנקודה שווה לערך הנגזרת באותה נקודה.📐 משוואת משיקy − y1 = m(x − x1)m = f′(x1)
גוזרים:
(sin x)′ = cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = −sin x📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
f′(x) = cos x − sin x
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
f′(x) = cos x − sin x
נציב x = π4 :
f′(π4) = cos π4 − sin π4
f′(π4) = √22 − √22 = 0📐 ערכים מיוחדיםsin π4 = √22cos π4 = √22
m = 0
שיפוע 0 פירושו שהמשיק מקביל לציר ה־x (משיק אופקי).
✅ פתרון סופי: m = 0 – המשיק מקביל לציר ה־x
סעיף ה – משוואת משיק
למשוואת משיק צריך נקודה על הגרף ושיפוע.
הנקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = 2sin x − x
נציב x = π2 :
f(π2) = 2sin π2 − π2
f(π2) = 2 · 1 − π2 = 2 − π2📐 ערך מיוחדsin π2 = 1
נקודת ההשקה: (π2 , 2 − π2)
השיפוע – גוזרים:
(2sin x)′ = 2cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
f′(x) = 2cos x − 1
f′(x) = 2cos x − 1
נציב x = π2 :
f′(π2) = 2cos π2 − 1
m = 2 · 0 − 1 = −1📐 ערך מיוחדcos π2 = 0
משוואת המשיק – נכתוב את הנוסחה ונסמן את מה שנציב:
y − y1 = m(x − x1)📐 משוואת משיקy − y1 = m(x − x1)m = f′(x1)
נציב את נקודת ההשקה (π2 , 2 − π2) ואת השיפוע m = −1 :
y − (2 − π2) = −1 · (x − π2)
y − 2 + π2 = −x + π2
y = −x + 2
✅ פתרון סופי: y = −x + 2
📌 סיכום
| סעיף א | f′(x) = 5cos x + 3sin x |
|---|---|
| סעיף ב | f′(x) = 3cos x + 2sin x + 2x f′(π3) ≈ 5.33 |
| סעיף ג | f′(π6) = 0 f′(π) = 2 |
| סעיף ד | m = 0 – משיק אופקי |
| סעיף ה | y = −x + 2 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il