מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות
שיעור 39 – בגרות 571 חורף 2025 – שאלה 7
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 571 · חורף 2025 · שאלה 7
בגרות 571 חורף 2025 – שאלה 7
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = cos x + 4(cos x)2 + a , בתחום −3π2 ≤ x ≤ 3π2 . a הוא פרמטר.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .
ב. האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.
נתון כי גרף הפונקציה f(x) משיק לישר y = 4 בשתי נקודות.
ג. מצאו את הערך של a .
הציבו a = 1 וענו על הסעיפים ד–ו.
ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
נתונות הפונקציה g(x) = f(x) − k והפונקציה h(x) = 1g(x) , שתיהן בתחום −3π2 ≤ x ≤ 3π2 . k הוא פרמטר, k ≠ 6 , k ≠ 4 .
ו. מצאו את הערך של k שבעבורו גרף הפונקציה g(x) וגרף הפונקציה h(x) נפגשים בכל אחת מנקודות הקיצון שלהן.
✏️ פתרון
סעיף א – תחום ההגדרה
יש שבר, ולכן המכנה לא יכול להיות 0:
(cos x)2 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0
cos x ≠ 0
הקוסינוס מתאפס בכפולות אי־זוגיות של π2 . בתחום הנתון אלה ארבע נקודות:
x = −3π2 , −π2 , π2 , 3π2📐 ערך מיוחדcos π2 = 0
שתי הנקודות x = ±3π2 הן קצות התחום, ולכן הקצוות לא נכללים. נשארים שלושה קטעים:
−3π2 < x < −π2
−π2 < x < π2
π2 < x < 3π2
✅ פתרון סופי:
−3π2 < x < −π2
−π2 < x < π2
π2 < x < 3π2
−3π2 < x < −π2
−π2 < x < π2
π2 < x < 3π2
סעיף ב – זוגיות
התחום סימטרי סביב 0. נציב −x במקום x . נכתוב את הפונקציה:
f(x) = cos x + 4(cos x)2 + a
נציב −x במקום x :
f(−x) = cos(−x) + 4(cos(−x))2 + a
cos(−x) = cos x📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos x
f(−x) = cos x + 4(cos x)2 + a
f(−x) = f(x)
קיבלנו f(−x) = f(x) , ולכן הפונקציה זוגית.📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
✅ פתרון סופי: הפונקציה זוגית
סעיף ג – הערך של a
נכתוב את השבר כחזקה שלילית, כדי לגזור לפי כלל השרשרת:
f(x) = cos x + 4(cos x)−2 + a
גוזרים כל איבר. הנגזרת של הקבוע a היא 0:
(cos x)′ = −sin x📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
[4(cos x)−2]′ = −8(cos x)−3 · (−sin x)📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)[un]′ = n · un−1 · u′
[4(cos x)−2]′ = 8sin xcos3x
f′(x) = −sin x + 8sin xcos3x
נוציא גורם משותף sin x :
f′(x) = sin x · (8cos3x − 1)
הישר y = 4 אופקי (שיפוע 0). לכן הוא יכול להשיק לגרף רק בנקודה שבה f′(x) = 0 . נשווה את הנגזרת ל־0:
sin x · (8cos3x − 1) = 0📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
אפשרות 1:
sin x = 0
x = πk📐 פתרון המשוואה sin x = 0x = πk
בתחום הנתון:
x = −π , x = 0 , x = π
אפשרות 2:
8cos3x = 1
cos3x = 8
cos x = 2
אין פתרון, כי תמיד −1 ≤ cos x ≤ 1 .
נחשב את ערך הפונקציה בשלוש הנקודות. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = cos x + 4(cos x)2 + a
נציב x = 0 :
f(0) = cos 0 + 4(cos 0)2 + a
f(0) = 1 + 41 + a = 5 + a
נציב x = π :
f(π) = cos π + 4(cos π)2 + a
f(π) = −1 + 41 + a = 3 + a
הפונקציה זוגית (סעיף ב), ולכן גם f(−π) = 3 + a .
ב־x = 0 יש נקודה אחת בלבד, ואילו ב־x = ±π יש שתי נקודות עם אותו גובה. הישר משיק בשתי נקודות, ולכן:
3 + a = 4
a = 1
בדיקה: עבור a = 1 : f(0) = 6 ≠ 4 , ולכן באמת יש בדיוק שתי נקודות השקה (±π , 4) .
✅ פתרון סופי: a = 1
סעיף ד – נקודות הקיצון
נציב a = 1 . הנגזרת לא תלויה ב־a , והנקודות שבהן היא מתאפסת הן x = −π , 0 , π (סעיף ג):
f′(x) = sin x · (8cos3x − 1)
קצות התחום x = ±3π2 לא בתחום ההגדרה, ולכן אין נקודות קיצון בקצוות. נסמן על הציר את נקודות האפס של הנגזרת ואת הנקודות שאינן בתחום (±π2 , ±3π2), ונציב בנגזרת מספר מכל קטע:
f′(−5π4) ≈ −16.7 < 0
f′(−3π4) ≈ 16.7 > 0
f′(−π4) ≈ −15.3 < 0
f′(π4) ≈ 15.3 > 0
f′(3π4) ≈ −16.7 < 0
f′(5π4) ≈ 16.7 > 0
ב־x = ±π2 הפונקציה לא מוגדרת, ולכן שם אין נקודת קיצון.
שיעור ה־y – מציבים a = 1 בתוצאות של סעיף ג:
f(0) = 5 + a , f(±π) = 3 + a
נציב a = 1 :
f(0) = 5 + 1 = 6
f(±π) = 3 + 1 = 4
✅ פתרון סופי:
מינימום (0 , 6)
מינימום (−π , 4)
מינימום (π , 4)
מינימום (0 , 6)
מינימום (−π , 4)
מינימום (π , 4)
סעיף ה – סקיצה
מה אנחנו יודעים:
• שלושה קטעים בתחום ההגדרה, ובכל קטע מינימום אחד: (−π , 4) , (0 , 6) , (π , 4) .
• ליד x = ±π2 וליד קצות התחום x = ±3π2 המכנה (cos x)2 שואף ל־0 (ונשאר חיובי), ולכן f(x) → +∞ . הישרים x = ±π2 הם אסימפטוטות אנכיות.
• הפונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־y.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ו – הערך של k
שלב 1 – הקיצון של g. נכתוב את g :
g(x) = f(x) − k
k קבוע, ולכן g′(x) = f′(x) . הגרף של g הוא הגרף של f מוזז ב־k יחידות למטה. לכן ל־g יש מינימום באותם x : x = 0 , x = ±π .
שלב 2 – הקיצון של h. נגזור את h = 1g :
h′(x) = 0 · g − 1 · g′g2 = −g′(x)g2(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
h′ = 0 בדיוק כאשר g′ = 0 , והסימן של h′ הפוך לסימן של g′ . לכן ל־h יש קיצון באותם x : x = 0 , x = ±π (מקסימום, כי g שם במינימום). הנתון k ≠ 6 , k ≠ 4 מבטיח ש־g ≠ 0 בנקודות האלה.
שלב 3 – תנאי המפגש. הגרפים נפגשים בנקודה שבה g = h :
g = 1g
g2 = 1
g = 1 או g = −1
שלב 4 – ערכי g בנקודות הקיצון. נכתוב:
g(x) = f(x) − k
מסעיף ד: f(0) = 6 ו־f(±π) = 4 .
נציב x = 0 :
g(0) = f(0) − k = 6 − k
נציב x = ±π :
g(±π) = f(±π) − k = 4 − k
צריך שגם 6 − k וגם 4 − k יהיו 1 או −1 . ההפרש ביניהם הוא 2, וההפרש בין 1 ל־−1 הוא גם 2. לכן האפשרות היחידה:
6 − k = 1 , 4 − k = −1
k = 5
בדיקה: עבור k = 5 : g(0) = 1 = h(0) , g(±π) = −1 = h(±π) ✓
✅ פתרון סופי: k = 5
📌 סיכום
| סעיף א | −3π2 < x < 3π2 , x ≠ ±π2 |
|---|---|
| סעיף ב | זוגית |
| סעיף ג | a = 1 |
| סעיף ד | מינימום (0 , 6) , (±π , 4) |
| סעיף ה | סקיצה |
| סעיף ו | k = 5 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il