שיעור 43 – בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – שאלה 6

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 571 · קיץ 2023 מועד מיוחד · שאלה 6
בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – שאלה 6

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = sin(x) · cos³(x) המוגדרת בתחום −π2 ≤ x ≤ π2 .

א. (1) האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו.
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

נתונה הפונקציה g(x) = 1√f(x) .

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) .
(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x) .
(3) סרטטו (בקו מקווקו) סקיצה של גרף הפונקציה g(x) באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקציה f(x) .

ענו על סעיף ג בעבור התחום שבו מוגדרות שתי הפונקציות f(x) ו־g(x) .

ג. מצאו את המרחק המינימלי בין הפונקציות f(x) ו־g(x) .

✏️ פתרון

סעיף א (1) – זוגיות

התחום −π2 ≤ x ≤ π2 סימטרי סביב 0. נכתוב את הפונקציה:

f(x) = sin x · cos³x

נציב −x במקום x :

f(−x) = sin(−x) · cos³(−x)

sin(−x) = −sin x📐 זווית נגדיתsin(−x) = −sin xcos(−x) = cos x

f(−x) = −sin x · cos³x

f(−x) = −f(x)

קיבלנו f(−x) = −f(x) , ולכן הפונקציה אי־זוגית.📐 פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)

✅ פתרון סופי: הפונקציה אי־זוגית

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):

f(0) = sin 0 · cos³0

f(0) = 0 · 1 = 0

חיתוך עם ציר ה־x (f(x) = 0):

sin x · cos³x = 0📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

sin x = 0 : בתחום, x = 0 .

cos x = 0 : בתחום, x = ±π2 .

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (π2 , 0) , (−π2 , 0)

סעיף א (3) – נקודות הקיצון

נגזור לפי כלל המכפלה, עם u = sin x ו־v = cos³x :

u′ = cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x

v′ = 3cos²x · (−sin x)📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)[uⁿ]′ = n · uⁿ⁻¹ · u′

f′(x) = u′ · v + u · v′📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

u′ · v = cos x · cos³x = cos⁴x

u · v′ = −3sin²x cos²x

f′(x) = cos⁴x − 3sin²x cos²x

נוציא גורם משותף cos²x :

f′(x) = cos²x (cos²x − 3sin²x)

משווים ל־0:

cos²x (cos²x − 3sin²x) = 0📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

אפשרות 1: cos x = 0 , כלומר x = ±π2 – אלה קצות התחום.

אפשרות 2:

cos²x = 3sin²x

כדי לקבל פונקציה אחת (tan x), נחלק ב־cos²x (בתוך התחום cos x ≠ 0):

1 = 3tan²x📐 טנגנסtan x = sin xcos x

tan²x = 13

tan x = 1√3 או tan x = −1√3

x = π6 + πk📐 פתרון המשוואה tan x = tan ax = a + πk

הזווית שהטנגנס שלה 1√3 היא π6 . בתחום −π2 < x < π2 :

x = π6 , x = −π6

קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל קטע:

f′(−π3) = 14 · (14 − 94)

f′(−π3) = −12 < 0

f′(0) = 1 · (1 − 0) = 1 > 0

f′(π3) = 14 · (14 − 94)

f′(π3) = −12 < 0

שיעור ה־y – נכתוב את הפונקציה:

f(x) = sin x · cos³x

נציב x = π6 :

f(π6) = sin π6 · cos³π6

sin π6 = 12 , cos π6 = √32📐 ערכים מיוחדיםsin π6 = 12cos π6 = √32

f(π6) = 12 · (√32)³

f(π6) = 12 · 3√38

f(π6) = 3√316 ≈ 0.32

הפונקציה אי־זוגית, ולכן:

f(−π6) = −3√316 ≈ −0.32

בקצוות (סעיף א(2)): f(±π2) = 0 .

✅ פתרון סופי:
מקסימום (π6 , 3√316)
מינימום (−π6 , −3√316)
מקסימום קצה (−π2 , 0)
מינימום קצה (π2 , 0)

סעיף א (4) – סקיצה של f

מה אנחנו יודעים:

• הגרף יוצא מ־(−π2 , 0) , יורד למינימום (−π6 , −0.32) .

• עולה דרך הראשית עד המקסימום (π6 , 0.32) , ויורד אל (π2 , 0) .

• הגרף סימטרי ביחס לראשית (אי־זוגית).

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב (1) – תחום ההגדרה של g

יש שורש במכנה. הביטוי בתוך השורש לא שלילי, והמכנה לא 0 – לכן הביטוי חיובי:

f(x) > 0📐 שורש במכנה1√u מוגדר כאשר u > 0

sin x · cos³x > 0

בתחום −π2 < x < π2 הקוסינוס חיובי, ולכן גם cos³x > 0 . נשאר sin x > 0 , כלומר x > 0 . רואים את זה גם בסקיצה: הגרף מעל ציר ה־x רק בין 0 ל־π2 .

0 < x < π2

✅ פתרון סופי: 0 < x < π2

סעיף ב (2) – נקודת הקיצון של g

בלי לגזור – קוראים מהגרף של f (סעיף א(4)) בתחום 0 < x < π2 :

• f עולה מ־0 עד המקסימום ב־x = π6 , ואחר כך יורדת חזרה ל־0.

g = 1√f📐 הפונקציה 1 חלקי שורשכש־f > 0 גדלה, √f גדל, ולכן 1√f קטנה (ולהפך)

• לכן g יורדת בין 0 ל־π6 , ועולה בין π6 ל־π2 : במקום שבו ל־f יש מקסימום, ל־g יש מינימום.

נכתוב את g :

g(x) = 1√f(x)

נציב את הערך המקסימלי של f (סעיף א(3)):

f(π6) = 3√316

g(π6) = 1√3√316

√3√316 = √(3√3)4

g(π6) = 4√(3√3) ≈ 1.75

✅ פתרון סופי:
מינימום (π6 , 4√(3√3))
כלומר (π6 , 1.75)

סעיף ב (3) – סקיצה של g

כאשר x מתקרב ל־0 או ל־π2 בתוך התחום, f(x) מתקרב ל־0 מלמעלה, ולכן g(x) → +∞ . הישרים x = 0 ו־x = π2 הם אסימפטוטות אנכיות של g .

הגרף של g (סגול מקווקו) יורד מ־+∞ למינימום (π6 , 1.75) ועולה שוב ל־+∞ . הגרף של f בכחול:

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – המרחק המינימלי

בתחום 0 < x < π2 הגרף של g מעל הגרף של f (הערך הקטן ביותר של g הוא 1.75, והגדול ביותר של f הוא 0.32). המרחק האנכי בין הגרפים:

d(x) = g(x) − f(x)

ב־x = π6 יש ל־g מינימום ול־f מקסימום באותו x . לכן לכל x בתחום:

g(x) ≥ g(π6) , f(x) ≤ f(π6)

d(x) ≥ g(π6) − f(π6)

המרחק הכי קטן מתקבל ב־x = π6 . נכתוב:

d(π6) = g(π6) − f(π6)

נציב את הערכים מסעיפים א(3) ו־ב(2):

d(π6) = 4√(3√3) − 3√316

d(π6) ≈ 1.7548 − 0.3248

d(π6) ≈ 1.43

✅ פתרון סופי: d ≈ 1.43

📌 סיכום

סעיף א (1)	אי־זוגית
סעיף א (2)	(0 , 0) , (±π2 , 0)
סעיף א (3)	מקס. (π6 , 3√316) מינ. (−π6 , −3√316) מקס. קצה (−π2 , 0) מינ. קצה (π2 , 0)
סעיף א (4)	סקיצה
סעיף ב (1)	0 < x < π2
סעיף ב (2)	מינימום (π6 , 1.75)
סעיף ב (3)	סקיצה
סעיף ג	≈ 1.43

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים