מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות
שיעור 34 – בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב׳ – שאלה 7
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 571 · קיץ 2026 מועד ב׳ · שאלה 7
בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב׳ – שאלה 7
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (sin x)2 · cos(2x) , המוגדרת בתחום −π4 ≤ x ≤ π4 .
א. הוכיחו כי הפונקציה f(x) היא זוגית.
ב. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
פונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרת בתחום −π4 ≤ x ≤ π4 .
נתונה הפונקציה g(x) = √a · f′(x) .
a הוא פרמטר שלילי.
ד. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) .
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x .
נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת פיתול אחת בלבד בתחום ההגדרה של הפונקציה g(x) .
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) .
✏️ פתרון
סעיף א – הוכחה ש־f(x) זוגית
התחום −π4 ≤ x ≤ π4 סימטרי סביב 0. נבדוק אם f(−x) = f(x) :
צריך להראות ש־f(−x) = f(x)
📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)לכל x בתחום סימטריf(x) = (sin x)2 · cos(2x)
נציב −x במקום x :
f(−x) = (sin(−x))2 · cos(−2x)
sin(−x) = −sin x📐 זווית נגדיתsin(−x) = −sin x
cos(−2x) = cos(2x)📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos x
f(−x) = (−sin x)2 · cos(2x)
ריבוע של מספר נגדי שווה לריבוע של המספר עצמו:
(−sin x)2 = (sin x)2
f(−x) = (sin x)2 · cos(2x)
f(−x) = f(x)
✅ פתרון סופי: f(−x) = f(x) , ולכן הפונקציה זוגית ∎
סעיף ב – נקודות קיצון
גזירה. הפונקציה היא מכפלה של שתי פונקציות. נסמן:
u = (sin x)2 , v = cos(2x)
את u גוזרים לפי נגזרת של חזקה (הפונקציה הפנימית היא sin x):
u′ = 2 sin x · cos x📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)[un]′ = n · un−1 · u′
u′ = 2 sin x · cos x = sin(2x)📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x
v′ = −2sin(2x)📐 נגזרת של cos(kx)[cos(kx)]′ = −k · sin(kx)
f′(x) = u′ · v + u · v′📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
נחשב כל מכפלה בנפרד:
u′ · v = sin(2x) · cos(2x)
u · v′ = (sin x)2 · (−2sin(2x))
נציב את שתי המכפלות:
f′(x) = sin(2x)cos(2x) − 2sin2x · sin(2x)
בשני האיברים יש sin(2x) . נוציא אותו כגורם משותף:
f′(x) = sin(2x) · [cos(2x) − 2sin2x]
בסוגריים יש גם cos(2x) וגם sin2x . כדי שיישאר בסוגריים רק sin x (ונוכל לפתור), נחליף את cos(2x) בזהות שיש בה sin2x :
f′(x) = sin(2x) · [cos(2x) − 2sin2x]
cos(2x) = 1 − 2sin2x📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 1 − 2sin2x
נציב cos(2x) = 1 − 2sin2x :
f′(x) = sin(2x) · [1 − 2sin2x − 2sin2x]
f′(x) = sin(2x) · (1 − 4sin2x)
השוואה ל־0. בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת:
sin(2x) · (1 − 4sin2x) = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
מכפלה שווה 0, ולכן אחד הגורמים שווה 0.
📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0אפשרות 1:
sin(2x) = 0
2x = 0 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk
2x = π − 0 + 2πk = π + 2πk
נכפול את התחום ב־2:
−π2 ≤ 2x ≤ π2
בתחום הזה יש רק פתרון אחד: 2x = 0 . הפתרונות π ו־−π כבר מחוץ לתחום. נחלק ב־2:
x = 0
אפשרות 2:
1 − 4sin2x = 0
4sin2x = 1
sin2x = 14
נוציא שורש. לא לשכוח את שני הסימנים:
sin x = 12 או sin x = −12
sin x = 12 ⇒ x = π6 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk
x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk
בתחום −π4 ≤ x ≤ π4 נמצא רק x = π6 . הפתרון 5π6 גדול מ־π4 .
sin x = −12 ⇒ sin x = sin(−π6)📐 זווית נגדיתsin(−x) = −sin x
x = −π6 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk
x = π + π6 + 2πk = 7π6 + 2πk
בתחום נמצא רק x = −π6 . גם עבור k = −1 מקבלים 7π6 − 2π = −5π6 , וזה מחוץ לתחום.
קיבלנו שלוש נקודות חשודות: x = −π6 , x = 0 , x = π6 .
קביעת סוג הנקודות. נסמן על ציר את הנקודות ואת קצות התחום ±π4 , ונציב בנגזרת מספר מכל תחום.
בחישוב במחשבון – מצב רדיאנים (R במסך).
f′(−0.7) = sin(−1.4) · (1 − 4sin2(−0.7))
f′(−0.7) ≈ −0.99 · (−0.66) ≈ 0.65 > 0
f′(−π12) = sin(−π6) · (1 − 4sin2(−π12))
f′(−π12) ≈ −0.5 · 0.73 ≈ −0.37 < 0
f′(π12) = sin π6 · (1 − 4sin2π12)
f′(π12) ≈ 0.5 · 0.73 ≈ 0.37 > 0
f′(0.7) = sin 1.4 · (1 − 4sin20.7)
f′(0.7) ≈ 0.99 · (−0.66) ≈ −0.65 < 0
שיעורי ה־y. מציבים בפונקציה עצמה:
f(x) = (sin x)2 · cos(2x)
נציב x = 0 :
f(0) = (sin 0)2 · cos(0)
f(0) = 02 · 1 = 0
נציב x = π6 :
f(π6) = (sin π6)2 · cos(π3)
sin π6 = 12📐 ערכים מיוחדיםsin π6 = 12cos π3 = 12
f(π6) = (12)2 · 12
f(π6) = 14 · 12 = 18
את x = −π6 לא צריך לחשב מחדש: הפונקציה זוגית (סעיף א), ולכן:
f(−π6) = f(π6) = 18
נציב את קצה התחום x = π4 :
f(π4) = (sin π4)2 · cos(π2)
sin π4 = √22📐 ערכים מיוחדיםsin π4 = √22cos π2 = 0
f(π4) = (√22)2 · 0 = 0
ובגלל הזוגיות:
f(−π4) = f(π4) = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (−π6 , 18) , (π6 , 18) ; מינימום (0 , 0) ; מינימום קצה (−π4 , 0) , (π4 , 0)
סעיף ג – סקיצה של f(x)
מסמנים את חמש הנקודות מסעיף ב ומחברים לפי העלייה והירידה (חצים בציר). הגרף סימטרי סביב ציר ה־y , כי הפונקציה זוגית.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של g(x)
שורש מוגדר רק כשהביטוי שבתוכו אינו שלילי:
📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר כאשר A ≥ 0a · f′(x) ≥ 0
נחלק ב־a . המספר a שלילי, ולכן כיוון אי־השוויון מתהפך:
f′(x) ≤ 0
את הסימן של f′(x) כבר מצאנו בציר של סעיף ב: הנגזרת שלילית בין −π6 ל־0 ובין π6 ל־π4 , ושווה 0 ב־−π6 , 0 , π6 .
בקצה x = −π4 הנגזרת חיובית:
f′(−π4) = sin(−π2) · (1 − 4sin2(−π4))
sin(−π2) = −1📐 ערכים מיוחדיםsin π2 = 1sin π4 = √22
f′(−π4) = (−1) · (1 − 4 · 12)
f′(−π4) = (−1) · (−1) = 1 > 0
ולכן x = −π4 לא בתחום של g .
✅ פתרון סופי: −π6 ≤ x ≤ 0 או π6 ≤ x ≤ π4
סעיף ד (2) – חיתוך של g(x) עם ציר ה־x
על ציר ה־x מתקיים g(x) = 0 :
√a · f′(x) = 0
נעלה בריבוע:
a · f′(x) = 0
a ≠ 0 (הוא שלילי), ולכן:
f′(x) = 0
מסעיף ב: x = −π6 , x = 0 , x = π6 – שלושתם בתחום של g .
בקצה x = π4 אין חיתוך, כי שם הנגזרת לא 0:
f′(π4) = sin(π2) · (1 − 4sin2π4)
f′(π4) = 1 · (1 − 4 · 12) = −1 ≠ 0
✅ פתרון סופי: (−π6 , 0) , (0 , 0) , (π6 , 0)
סעיף ה – סקיצה של g(x)
שלב 1 – הגרף של f′ . נקודת פיתול של f היא נקודה שבה ל־f′ יש נקודת קיצון.
בתחום −π6 ≤ x ≤ 0 : f′ שווה 0 בשני הקצוות ושלילית בפנים, ולכן יש לה שם נקודת מינימום. זו נקודת הפיתול של f .
נתון שיש רק נקודת פיתול אחת בתחום של g , ולכן בתחום π6 ≤ x ≤ π4 אין ל־f′ קיצון: היא יורדת מ־f′(π6) = 0 עד f′(π4) = −1 .
סקיצה של f′ (בסגול):
שלב 2 – מ־f′ ל־g . כש־a שלילי, הביטוי a · f′(x) הפוך בסימן ל־f′(x) : איפה ש־f′ יורדת הוא עולה, ואיפה ש־f′ עולה הוא יורד. השורש שומר על הכיוון (מספר גדול יותר – שורש גדול יותר).
• בתחום −π6 ≤ x ≤ 0 : g עולה מ־0 למקסימום (מעל נקודת הפיתול של f) ויורדת חזרה ל־0.
• בתחום π6 ≤ x ≤ π4 : g עולה מ־0 עד הקצה. נציב x = π4 :
g(π4) = √a · f′(π4)
נציב f′(π4) = −1 (מסעיף ד (2)):
g(π4) = √a · (−1) = √−a
(הסקיצה בקנה מידה בעבור a = −1 ; לכל a שלילי הצורה זהה, רק הגובה משתנה.)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | מקס. (±π6 , 18) ; מינ. (0 , 0) ; מינ. קצה (±π4 , 0) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד (1) | −π6 ≤ x ≤ 0 , π6 ≤ x ≤ π4 |
| סעיף ד (2) | (−π6 , 0) , (0 , 0) , (π6 , 0) |
| סעיף ה | סקיצה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il