שיעור 7 – תרגול זהויות מהבגרויות

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

תרגול זהויות מהבגרויות

📄 נוסח השאלה

א. (בגרות 482, חורף 2020, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = sin(2x) , המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π . נתונה הפונקציה g(x) = 2sin x , המוגדרת גם היא בתחום 0 ≤ x ≤ π . מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם גרף הפונקציה f(x) .

ב. (בגרות 482, קיץ 2022 מועד ב, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = 2 − 4(sin x)² , המוגדרת בתחום −3π4 ≤ x ≤ 3π4 . מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־x .

ג. (בגרות 571, קיץ 2022 מועד ב, שאלה 7) נתונה הפונקציה f(x) = sin²(x) − cos²(x) − 1 , המוגדרת לכל x .

(1) הוכיחו כי לכל x מתקיים: −2 ≤ f(x) ≤ 0 .

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים בתחום −π ≤ x ≤ π .

ד. (בגרות 571, חורף 2026, שאלה 7) נתונה הפונקציה f(x) = (sin x)² + cos x − 1 , המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π . מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x .

✏️ פתרון

סעיף א – בגרות 482 חורף 2020: sin(2x) = 2sin x

בנקודת חיתוך הגרפים שווים:

sin(2x) = 2sin x

באגף שמאל זווית כפולה ובאגף ימין זווית רגילה – פותחים את sin(2x) :

2sin x · cos x = 2sin x📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

לא מחלקים ב־sin x (הוא יכול להיות 0). מעבירים אגף ומוציאים גורם משותף:

2sin x · cos x − 2sin x = 0

2sin x · (cos x − 1) = 0

אחד הגורמים שווה 0:

📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

אפשרות 1: sin x = 0 :

x = 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

x = π + 2πk

בתחום 0 ≤ x ≤ π ( k = 0 ): x = 0 ו־x = π .

אפשרות 2: cos x = 1 :

x = 0📐 ערך מיוחדcos 0 = 1

זה פתרון שכבר מצאנו.

שיעור ה־y – מציבים ב־g(x) = 2sin x :

g(0) = 2sin 0 = 0

g(π) = 2sin π = 0

✅ פתרון סופי: (0 , 0) וגם (π , 0)

סעיף ב – בגרות 482 קיץ 2022 מועד ב

פותרים f(x) = 0 . כמו שראינו בשיעור הקודם, 2 − 4sin²x הוא בדיוק 2cos(2x) , ומשוואה עם קוסינוס אחד קלה יותר לפתרון. מוציאים 2:

f(x) = 2(1 − 2sin²x)

f(x) = 2cos(2x)📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 1 − 2sin²x

2cos(2x) = 0

cos(2x) = 0

cos(2x) = cos π2📐 ערך מיוחדcos π2 = 0

2x = π2 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

2x = −π2 + 2πk

מחלקים ב־2:

x = π4 + πk

x = −π4 + πk

בוחרים k כך שנישאר בתחום −3π4 ≤ x ≤ 3π4 :

משפחה ראשונה: k = 0 נותן π4 , ו־k = −1 נותן:

x = π4 − π = −3π4

משפחה שנייה: k = 0 נותן −π4 , ו־k = 1 נותן:

x = −π4 + π = 3π4

ערכי k אחרים יוצאים מהתחום. שתי הנקודות ± 3π4 הן קצות התחום.

✅ פתרון סופי: (± π4 , 0) וגם (± 3π4 , 0)

סעיף ג – בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב

(1) כדי לדעת בין אילו ערכים נמצאת הפונקציה, כדאי לכתוב אותה עם פונקציה טריגונומטרית אחת. מהזהות היסודית sin²x − 1 = −cos²x . מסדרים את הפונקציה ומסמנים את מה שנחליף:

f(x) = sin²x − 1 − cos²x

נציב sin²x − 1 = −cos²x :

f(x) = −cos²x − cos²x📐 זהות יסודיתsin²x + cos²x = 1

f(x) = −2cos²x

ריבוע של קוסינוס נמצא תמיד בין 0 ל־1:

0 ≤ cos²x ≤ 1

כופלים ב־−2 – והופכים את כיוון אי השוויון:

−2 ≤ −2cos²x ≤ 0

−2 ≤ f(x) ≤ 0

(2) חיתוך עם ציר ה־y – מציבים x = 0 בצורה הפשוטה:

f(0) = −2cos²0 = −2 · 1 = −2

חיתוך עם ציר ה־x :

−2cos²x = 0

cos x = 0

x = π2 + πk📐 ערך מיוחדcos π2 = 0

בתחום −π ≤ x ≤ π : k = 0 נותן π2 , ו־k = −1 נותן −π2 .

✅ פתרון סופי: הוכחנו ✓ . נקודות החיתוך: (0 , −2) וגם (± π2 , 0)

סעיף ד – בגרות 571 חורף 2026

פותרים f(x) = 0 . יש במשוואה גם סינוס וגם קוסינוס; מחליפים את sin²x כדי שיישאר רק קוסינוס:

(sin x)² + cos x − 1 = 0

נציב sin²x = 1 − cos²x :

1 − cos²x + cos x − 1 = 0📐 זהות יסודיתsin²x + cos²x = 1

−cos²x + cos x = 0

מוציאים גורם משותף cos x :

cos x · (1 − cos x) = 0

אחד הגורמים שווה 0:

📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

אפשרות 1: cos x = 0 :

x = π2 + πk📐 ערך מיוחדcos π2 = 0

בתחום −π ≤ x ≤ π : x = π2 ו־x = −π2 .

אפשרות 2: cos x = 1 :

x = 2πk📐 ערך מיוחדcos 0 = 1

בתחום – רק x = 0 .

✅ פתרון סופי: (0 , 0) וגם (± π2 , 0)

📌 סיכום

סעיף א	(0 , 0) ; (π , 0)
סעיף ב	(± π4 , 0) ; (± 3π4 , 0)
סעיף ג	הוכחה ; (0 , −2) ; (± π2 , 0)
סעיף ד	(0 , 0) ; (± π2 , 0)

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים