שיעור 27 – בגרות 482 קיץ 2025 מועד ב׳ – שאלה 3

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 482 · קיץ 2025 מועד ב׳ · שאלה 3
בגרות 482 קיץ 2025 מועד ב׳ – שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בסקיצה שלפניך מוצג גרף הפונקציה f(x) = cos(2x) + 2sin x בתחום 0 ≤ x ≤ π .

א. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) בתחום הנתון, וקבע את סוגן.

דרך נקודת המינימום הפנימית של הפונקציה f(x) העבירו משיק לגרף הפונקציה.

ב. מצא את משוואת המשיק.

ג. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי המשיק.

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + c המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π . c הוא פרמטר.

ד. כתוב ערך אחד של c שעבורו גרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה־x בארבע נקודות בדיוק.

✏️ פתרון

סעיף א – נקודות קיצון

גוזרים כל איבר בנפרד:

[cos(2x)]′ = −2sin(2x)📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)[cos(ax)]′ = −a · sin(ax)

(2sin x)′ = 2cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x

f′(x) = −2sin(2x) + 2cos x

משווים את הנגזרת ל־0. יש כאן זווית 2x וזווית x – כדי שנוכל להוציא גורם משותף, נפתח את sin(2x) לפי זהות הזווית הכפולה:

f′(x) = −2 · 2sin x · cos x + 2cos x📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

f′(x) = −4sin x · cos x + 2cos x

מוציאים גורם משותף 2cos x :

f′(x) = 2cos x(1 − 2sin x)

2cos x(1 − 2sin x) = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

מכפלה – אחד הגורמים שווה 0:

📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

cos x = 0

או

1 − 2sin x = 0

cos x = 0 – בתחום 0 ≤ x ≤ π הפתרון היחיד הוא x = π2 .

1 − 2sin x = 0 :

sin x = 12

x = π6 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk

בתחום 0 ≤ x ≤ π (עם k = 0): x = π6 , x = 5π6 .

קביעת סוג הנקודות – יש שלוש נקודות פנימיות ושני קצוות (x = 0 , x = π). מציבים בנגזרת מספר מכל תחום.

את המספרים מציבים ב־f′(x) = 2cos x(1 − 2sin x) (ב־π12 וב־11π12 בעזרת מחשבון):

f′(π12) ≈ 0.93 > 0

f′(π3) = 2 · 12(1 − √3) = 1 − √3 < 0

f′(2π3) = 2 · (−12)(1 − √3) = √3 − 1 > 0

f′(11π12) ≈ −0.93 < 0

שיעורי ה־y – נכתוב את הפונקציה:

f(x) = cos(2x) + 2sin x

נציב x = 0 ו־x = π :

f(0) = cos(2 · 0) + 2sin 0 = 1

f(π) = cos(2 · π) + 2sin π = 1

נציב x = π6 :

f(π6) = cos(2 · π6) + 2sin π6

cos π3 = 12 , sin π6 = 12📐 ערכים מיוחדיםcos π3 = 12sin π6 = 12

f(π6) = 12 + 2 · 12 = 1.5

נציב x = π2 :

f(π2) = cos(2 · π2) + 2sin π2

f(π2) = cos π + 2 · 1 = 1

נציב x = 5π6 :

f(5π6) = cos(2 · 5π6) + 2sin 5π6

cos 5π3 = cos π3 = 12📐 זוויות שסכומן 2πcos(2π − x) = cos x

sin 5π6 = sin π6 = 12📐 זוויות שסכומן πsin(π − x) = sin x

f(5π6) = 12 + 2 · 12 = 1.5

✅ פתרון סופי:
מינימום קצה (0 , 1)
מקסימום (π6 , 1.5)
מינימום (π2 , 1)
מקסימום (5π6 , 1.5)
מינימום קצה (π , 1)

סעיף ב – משוואת המשיק

נקודת המינימום הפנימית היא (π2 , 1) . השיפוע של המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה, ובנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:

m = f′(π2) = 0📐 משוואת משיקy − y₁ = m(x − x₁)m = f′(x₁)

נציב את הנקודה (π2 , 1) ואת m = 0 :

y − y₁ = m(x − x₁)

y − 1 = 0 · (x − π2)

y = 1

✅ פתרון סופי: y = 1

סעיף ג – שטח

המשיק y = 1 נוגע בגרף בשלוש נקודות: (0 , 1) , (π2 , 1) , (π , 1) – כל נקודות המינימום של f הן בגובה 1. לכן בכל התחום הגרף נמצא מעל המשיק, והשטח הוא מ־0 עד π :

S = ∫₀^π (f(x) − 1) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b (עליון − תחתון) dx

S = ∫₀^π (cos(2x) + 2sin x − 1) dx

G(x) = 12sin(2x) − 2cos x − x📐 פונקציה קדומה∫cos(ax) dx = 1asin(ax) + C∫sin x dx = −cos x + C∫k dx = kx + C

S = G(π) − G(0)

נציב את הגבול העליון x = π :

G(π) = 12sin(2π) − 2cos π − π

G(π) = 0 − 2 · (−1) − π = 2 − π

נציב את הגבול התחתון x = 0 :

G(0) = 12sin(2 · 0) − 2cos 0 − 0

G(0) = 0 − 2 · 1 − 0 = −2

S = (2 − π) − (−2)

S = 4 − π ≈ 0.86

✅ פתרון סופי: S = 4 − π ≈ 0.86

סעיף ד – ערך של c

הגרף של g(x) = f(x) + c הוא הגרף של f מוזז c יחידות למעלה או למטה. הוא חותך את ציר ה־x כאשר g(x) = 0 :

f(x) + c = 0

f(x) = −c

כלומר צריך שהישר האופקי y = −c יחתוך את גרף f בארבע נקודות בדיוק.

לפי סעיף א הגרף של f עולה מ־1 ל־1.5, יורד ל־1, עולה ל־1.5 ויורד ל־1. ישר אופקי שגובהו בין 1 ל־1.5 חותך כל אחד מארבעת החלקים פעם אחת – ארבע נקודות. (בגובה 1 בדיוק יש רק שלוש נקודות, ובגובה 1.5 בדיוק – רק שתיים.)

1 < −c < 1.5

−1.5 < c < −1

לדוגמה c = −1.2 : אז −c = 1.2 , שנמצא בין 1 ל־1.5.

✅ פתרון סופי: לדוגמה c = −1.2 (מתאים כל c שמקיים −1.5 < c < −1)

📌 סיכום

סעיף א	מינ. קצה (0 , 1) מקס. (π6 , 1.5) מינ. (π2 , 1) מקס. (5π6 , 1.5) מינ. קצה (π , 1)
סעיף ב	y = 1
סעיף ג	S = 4 − π ≈ 0.86
סעיף ד	לדוגמה c = −1.2

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים