מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות
שיעור 5 – קוסינוס של זווית כפולה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
קוסינוס של זווית כפולה
📄 נוסח השאלה
א. נתון: cos x = 13 . מצאו את cos(2x) .
ב. נתון: sin x = 14 . מצאו את cos(2x) .
ג. פתרו את המשוואה cos(2x) + cos x = 0 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .
ד. (מתוך בגרות 482, חורף 2022, שאלה 3 סעיף א) נתונות הפונקציות f(x) = cos x ו־g(x) = cos(2x) , המוגדרות בתחום 0 ≤ x ≤ π . מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הגרפים של f(x) ו־g(x) .
ה. פתרו את המשוואה cos(2x) = sin x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .
✏️ פתרון
הסבר – שלוש הצורות של cos(2x)
לקוסינוס של זווית כפולה יש שלוש צורות. הבסיסית (מהנוסחה של קוסינוס של סכום, כש־2x = x + x):
צורה 1:
📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = cos2x − sin2xממנה מקבלים את שתי האחרות בעזרת הזהות היסודית. כותבים את צורה 1 ומסמנים את sin2x :
cos(2x) = cos2x − sin2x
נציב sin2x = 1 − cos2x :
cos(2x) = cos2x − (1 − cos2x)📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
ואחרי פתיחת סוגריים – צורה 2, עם קוסינוס בלבד:
📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 2cos2x − 1באותה דרך, מסמנים את cos2x :
cos(2x) = cos2x − sin2x
נציב cos2x = 1 − sin2x :
cos(2x) = (1 − sin2x) − sin2x📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
צורה 3, עם סינוס בלבד:
📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 1 − 2sin2xאיזו צורה לבחור? את זו שתשאיר במשוואה פונקציה אחת: אם יש במשוואה רק cos x – צורה 2; אם יש רק sin x – צורה 3. כך מקבלים משוואה ריבועית ב־cos x או ב־sin x .
✅ פתרון סופי: שלוש צורות: cos2x − sin2x , 2cos2x − 1 , 1 − 2sin2x
סעיף א – מקוסינוס
נתון cos x , ולכן בוחרים בצורה עם קוסינוס בלבד ומסמנים את cos x :
cos(2x) = 2(cos x)2 − 1📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 2cos2x − 1
נציב cos x = 13 :
cos(2x) = 2(13)2 − 1
cos(2x) = 2 · 19 − 1
cos(2x) = 29 − 99 = −79
✅ פתרון סופי: cos(2x) = −79
סעיף ב – מסינוס
נתון sin x , ולכן בוחרים בצורה עם סינוס בלבד:
cos(2x) = 1 − 2(sin x)2📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 1 − 2sin2x
נציב sin x = 14 :
cos(2x) = 1 − 2(14)2
cos(2x) = 1 − 2 · 116
cos(2x) = 1 − 18 = 78
✅ פתרון סופי: cos(2x) = 78
סעיף ג – משוואה עם קוסינוס
במשוואה יש רק קוסינוס, ולכן מחליפים את cos(2x) בצורה 2:
2cos2x − 1 + cos x = 0📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 2cos2x − 1
מסדרים כמשוואה ריבועית. כותבים אותה ומסמנים את cos x :
2(cos x)2 + cos x − 1 = 0
נציב t = cos x :
2t2 + t − 1 = 0
t = −1 ± √(1 + 8)4 = −1 ± 34📐 נוסחת השורשיםat2 + bt + c = 0t = −b ± √(b2 − 4ac)2a
t1 = −1 + 34 = 24 = 12
t2 = −1 − 34 = −1
חוזרים ל־cos x . אפשרות 1: cos x = 12 :
cos x = cos π3📐 ערך מיוחדcos π3 = 12
x = π3 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk
x = −π3 + 2πk
נציב k = 0 : x = π3 . נציב k = 1 במשפחה השנייה:
x = −π3 + 2π = 5π3
אפשרות 2: cos x = −1 :
x = π + 2πk📐 ערך מיוחדcos π = −1
בתחום 0 ≤ x ≤ 2π מתקבל רק x = π (עבור k = 0).
בדיקה: cos 2π3 + cos π3 = −12 + 12 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x = π3 , π , 5π3
סעיף ד – בגרות 482: נקודות חיתוך
בנקודת חיתוך שני הגרפים שווים. משווים:
cos(2x) = cos x
יש רק קוסינוס, ולכן צורה 2:
2cos2x − 1 = cos x📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 2cos2x − 1
2(cos x)2 − cos x − 1 = 0
נציב t = cos x :
2t2 − t − 1 = 0
t = 1 ± √(1 + 8)4 = 1 ± 34📐 נוסחת השורשיםat2 + bt + c = 0t = −b ± √(b2 − 4ac)2a
t1 = 1 + 34 = 1
t2 = 1 − 34 = −12
אפשרות 1: cos x = 1 – בתחום 0 ≤ x ≤ π :
x = 0📐 ערך מיוחדcos 0 = 1
אפשרות 2: cos x = −12 . הקוסינוס שלילי – הזווית ברביע 2:
cos 2π3 = −cos π3 = −12📐 זוויות שסכומן πcos(π − x) = −cos x
x = 2π3 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk
x = −2π3 + 2πk
בתחום 0 ≤ x ≤ π מתקבל רק x = 2π3 ( k = 0 במשפחה הראשונה).
שיעור ה־y – מציבים ב־f(x) = cos x :
f(0) = cos 0 = 1
f(2π3) = cos 2π3 = −12
✅ פתרון סופי: (0 , 1) וגם (2π3 , −12)
סעיף ה – משוואה עם סינוס
עכשיו יש במשוואה sin x , ולכן מחליפים את cos(2x) בצורה 3:
1 − 2sin2x = sin x📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 1 − 2sin2x
2(sin x)2 + sin x − 1 = 0
נציב t = sin x :
2t2 + t − 1 = 0
זו אותה משוואה כמו בסעיף ג:
t1 = 12
t2 = −1
אפשרות 1: sin x = 12 :
sin x = sin π6📐 ערך מיוחדsin π6 = 12
x = π6 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk
x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk
נציב k = 0 : x = π6 , x = 5π6 .
אפשרות 2: sin x = −1 :
x = 3π2📐 ערך מיוחדsin 3π2 = −1
✅ פתרון סופי: x = π6 , 5π6 , 3π2
📌 סיכום
| סעיף א | −79 |
|---|---|
| סעיף ב | 78 |
| סעיף ג | x = π3 , π , 5π3 |
| סעיף ד | (0 , 1) ; (2π3 , −12) |
| סעיף ה | x = π6 , 5π6 , 3π2 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il