מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות
שיעור 29 – בגרות 482 חורף 2025 – שאלה 3
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 482 · חורף 2025 · שאלה 3
בגרות 482 חורף 2025 – שאלה 3
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 3cos(2x) − a , a הוא פרמטר.
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא −π ≤ x ≤ π .
א. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן. אם יש צורך, הביעו באמצעות a .
נתון כי כל נקודות המינימום של הפונקציה f(x) נמצאות על הישר y = a − 11 .
ב. מצאו את הערך של a .
הציבו a = 4 , וענו על הסעיפים ג–ד.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי הישר y = a − 11 .
✏️ פתרון
סעיף א – נקודות קיצון
הנגזרת – גוזרים כל איבר בנפרד:
[3cos(2x)]′ = 3 · (−2sin(2x))📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)[cos(ax)]′ = −a · sin(ax)
[3cos(2x)]′ = −6sin(2x)
a הוא מספר קבוע, ולכן הנגזרת שלו היא 0.
📐 נגזרת של קבועהנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0f′(x) = −6sin(2x)
משווים את הנגזרת ל־0:
−6sin(2x) = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
sin(2x) = 0
הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0. לפי הנוסחה יש שתי משפחות של פתרונות:
2x = 0 + 2πk = 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin tx = t + 2πkx = π − t + 2πk
2x = π − 0 + 2πk = π + 2πk
בשתי המשפחות יחד, 2x הוא כפולה שלמה של π :
2x = πk
מחלקים ב־2:
x = πk2
מחפשים פתרונות בתחום −π ≤ x ≤ π . נציב k = −2 , −1 , 0 , 1 , 2 :
x = −π , x = −π2 , x = 0
x = π2 , x = π
עבור k = 3 או k = −3 יוצא x = ±3π2 – מחוץ לתחום. כל הנקודות האלה הן בתוך התחום או על קצותיו.
קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את הנקודות, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(−3π4) = −6sin(−3π2) = −6 < 0
f′(−π4) = −6sin(−π2) = 6 > 0
f′(π4) = −6sin(π2) = −6 < 0
f′(3π4) = −6sin(3π2) = 6 > 0
שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = 3cos(2 · x) − a
נציב x = 0 :
f(0) = 3cos(2 · 0) − a
f(0) = 3 · 1 − a = 3 − a
נציב x = π :
f(π) = 3cos(2 · π) − a
f(π) = 3cos(2π) − a = 3 − a
נציב x = −π :
f(−π) = 3cos(2 · (−π)) − a
cos(−2π) = cos(2π) = 1📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos x
f(−π) = 3 · 1 − a = 3 − a
נציב x = π2 :
f(π2) = 3cos(2 · π2) − a
f(π2) = 3cos π − a = −3 − a
נציב x = −π2 :
f(−π2) = 3cos(2 · (−π2)) − a
cos(−π) = cos π = −1📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos x
f(−π2) = 3 · (−1) − a = −3 − a
✅ פתרון סופי:
מקסימום: (0 , 3 − a)
מינימום: (−π2 , −3 − a) , (π2 , −3 − a)
מקסימום קצה: (−π , 3 − a) , (π , 3 − a)
מקסימום: (0 , 3 − a)
מינימום: (−π2 , −3 − a) , (π2 , −3 − a)
מקסימום קצה: (−π , 3 − a) , (π , 3 − a)
סעיף ב – מציאת a
מסעיף א, נקודות המינימום הן (−π2 , −3 − a) ו־(π2 , −3 − a) . לשתיהן אותו שיעור y , ולכן מספיק להציב אחת מהן.
נקודה נמצאת על ישר כאשר השיעורים שלה מקיימים את משוואת הישר. נכתוב את משוואת הישר:
y = a − 11
נציב y = −3 − a :
−3 − a = a − 11
−a − a = −11 + 3
−2a = −8
a = 4
✅ פתרון סופי: a = 4
סעיף ג – סקיצה
נציב a = 4 בשיעורי הנקודות שמצאנו בסעיף א:
3 − a = 3 − 4 = −1
−3 − a = −3 − 4 = −7
מקסימום: (−π , −1) , (0 , −1) , (π , −1) ; מינימום: (−π2 , −7) , (π2 , −7) .
נקודת החיתוך עם ציר y היא נקודת המקסימום (0 , −1) .
הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא −1 , כלומר כל הגרף מתחת לציר x – אין נקודות חיתוך עם ציר x .
מסמנים את הנקודות ומחברים לפי העלייה והירידה מסעיף א:
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – שטח
נציב a = 4 במשוואת הישר:
y = a − 11 = 4 − 11 = −7
הישר y = −7 עובר דרך שתי נקודות המינימום (−π2 , −7) ו־(π2 , −7) , ומשיק לגרף בהן. בין שתי הנקודות האלה הגרף נמצא מעל הישר, ושם נוצר השטח:
השטח הוא בין x = −π2 לבין x = π2 . הגרף f(x) הוא העליון, והישר הוא התחתון:
השטח הוא האינטגרל של ההפרש בין הגרף העליון לתחתון.
📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba[f(x) − g(x)] dxf(x) – הגרף העליון , g(x) – הגרף התחתוןההפרש בין הגרף העליון לישר:
f(x) − (−7) = 3cos(2x) + 3
S = ∫π2−π2(3cos(2x) + 3) dx
פונקציה קדומה של 3cos(2x) + 3 :
📐 פונקציה קדומה∫cos(ax) dx = 1asin(ax) + C∫k dx = kx + Cנקרא לפונקציה הקדומה G(x) :
G(x) = 32sin(2x) + 3x
S = G(π2) − G(−π2)
נציב x = π2 (הגבול העליון):
G(π2) = 32sin(2·π2) + 3·π2
G(π2) = 32sin π + 3π2 = 3π2
נציב x = −π2 (הגבול התחתון):
G(−π2) = 32sin(−π) + 3·(−π2)
G(−π2) = 0 − 3π2 = −3π2
השטח = הגבול העליון פחות הגבול התחתון:
S = 3π2 − (−3π2)
S = 3π2 + 3π2 = 3π ≈ 9.42
✅ פתרון סופי: S = 3π ≈ 9.42
📌 סיכום
| סעיף א | מקס. (0 , 3 − a) , מינ. (±π2 , −3 − a) , מקס. קצה (±π , 3 − a) |
|---|---|
| סעיף ב | a = 4 |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | S = 3π ≈ 9.42 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il