מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות
שיעור 6 – פישוט פונקציות בעזרת זהויות
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
פישוט פונקציות בעזרת זהויות
📄 נוסח השאלה
א. הראו כי לכל x : (sin x + cos x)2 = 1 + sin(2x) .
ב. הראו כי לכל x : cos4x − sin4x = cos(2x) .
ג. (מתוך בגרות 482, חורף מאוחר 2021, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = 2 − 4(sin x)2 , המוגדרת בתחום −π2 ≤ x ≤ π2 .
(1) הראו כי f(x) = 2cos(2x) .
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
ד. (מתוך בגרות 571, קיץ 2022 מועד א, שאלה 7) נתונה הפונקציה f(x) = 2(cos x)2 + sin(2x)2cos x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .
(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .
(2) הראו כי לכל x בתחום ההגדרה מתקיים: f′(x) = cos x − sin x .
ה. (הפונקציה מתוך בגרות 482, קיץ 2026 מועד א, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = 4(sin x)2 − 1 , המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 3π2 . הראו כי f(x) = 1 − 2cos(2x) .
✏️ פתרון
הסבר – מה מחפשים בביטוי
בשאלות בגרות מבקשים לא פעם "הראו כי f(x) = … " – לכתוב את הפונקציה בצורה פשוטה יותר. צורה פשוטה עוזרת למצוא נקודות חיתוך, לגזור בקלות, ולדעת מה הערכים שהפונקציה מקבלת.
מה מחפשים בביטוי:
סכום sin2x + cos2x – מחליפים ב־1.
📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1מכפלה 2sin x · cos x – מחליפים ב־sin(2x) .
📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos xהפרש cos2x − sin2x , או 1 − 2sin2x , או 2cos2x − 1 – מחליפים ב־cos(2x) .
📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = cos2x − sin2x= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2xובנוסף – כלים מאלגברה: ריבוע של סכום, הפרש ריבועים, הוצאת גורם משותף.
איך מראים? מתחילים מהאגף המסובך, ומשנים אותו צעד אחר צעד עד שמגיעים לאגף השני.
✅ פתרון סופי: מחפשים sin2x + cos2x , 2sin x · cos x , cos2x − sin2x
סעיף א – ריבוע של סכום
מתחילים מאגף שמאל (sin x + cos x)2 ופותחים את הריבוע. מקבלים:
sin2x + 2sin x · cos x + cos2x📐 ריבוע של סכום(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
מסדרים יחד את שני הריבועים, ומסמנים את מה שנחליף:
sin2x + cos2x + 2sin x · cos x
נציב sin2x + cos2x = 1 ו־2sin x · cos x = sin(2x) :
1 + sin(2x)📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
ובזהות:
📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos xקיבלנו את אגף ימין ✓
✅ פתרון סופי: אגף שמאל שווה 1 + sin(2x) ✓
סעיף ב – הפרש ריבועים
בחזקה 4 אפשר לראות הפרש ריבועים: cos4x = (cos2x)2 . מפרקים:
אגף שמאל שווה ל:
(cos2x − sin2x)(cos2x + sin2x)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
מסמנים את שני הסוגריים שנחליף:
(cos2x − sin2x) · (cos2x + sin2x)
נציב cos2x − sin2x = cos(2x) ו־cos2x + sin2x = 1 :
cos(2x) · 1 = cos(2x)📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = cos2x − sin2x
ובזהות:
📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1קיבלנו את אגף ימין ✓
✅ פתרון סופי: אגף שמאל שווה cos(2x) ✓
סעיף ג – בגרות 482
(1) בפונקציה יש sin2x , ובתוצאה cos(2x) – זו הצורה של cos(2x) עם סינוס בלבד. מוציאים 2 כגורם משותף:
f(x) = 2 − 4sin2x
f(x) = 2(1 − 2sin2x)
נציב 1 − 2sin2x = cos(2x) :
f(x) = 2 · cos(2x) = 2cos(2x)📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 1 − 2sin2x
(2) חיתוך עם ציר ה־y – מציבים x = 0 :
f(0) = 2cos(2 · 0)
f(0) = 2cos 0 = 2
חיתוך עם ציר ה־x – פותרים f(x) = 0 . הצורה הפשוטה עוזרת כאן:
2cos(2x) = 0
cos(2x) = 0
cos(2x) = cos π2📐 ערך מיוחדcos π2 = 0
2x = π2 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk
2x = −π2 + 2πk
מחלקים ב־2:
x = π4 + πk
x = −π4 + πk
נציב k = 0 : x = π4 ו־x = −π4 . עבור k = 1 או k = −1 יוצאים מהתחום −π2 ≤ x ≤ π2 .
✅ פתרון סופי: הוכחנו ✓ . נקודות החיתוך: (0 , 2) , (π4 , 0) , (−π4 , 0)
סעיף ד – בגרות 571: מפשטים לפני הגזירה
(1) אסור שהמכנה יהיה 0:
2cos x ≠ 0📐 תחום הגדרההמכנה שונה מ־0
cos x ≠ 0
x ≠ π2 , x ≠ 3π2📐 ערך מיוחדcos π2 = cos 3π2 = 0
(2) לפני שגוזרים – מפשטים. גזירה של מנה כאן ארוכה, ואם נפתח את sin(2x) יופיע במונה גורם משותף עם המכנה. כותבים את הפונקציה ומסמנים את מה שנחליף:
f(x) = 2cos2x + sin(2x)2cos x
נציב sin(2x) = 2sin x · cos x :
f(x) = 2cos2x + 2sin x · cos x2cos x📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x
מוציאים במונה גורם משותף 2cos x :
f(x) = 2cos x · (cos x + sin x)2cos x
מצמצמים ב־2cos x (מותר, כי בתחום ההגדרה cos x ≠ 0):
f(x) = cos x + sin x
עכשיו גוזרים כל איבר:
(cos x)′ = −sin x📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
(sin x)′ = cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
f′(x) = −sin x + cos x
f′(x) = cos x − sin x
קיבלנו את מה שהיה צריך להראות ✓
✅ פתרון סופי: תחום ההגדרה: x ≠ π2 , 3π2 . והנגזרת: f′(x) = cos x − sin x ✓
סעיף ה – מסינוס בריבוע ל־cos(2x)
בתוצאה יש cos(2x) , ובפונקציה sin2x – משתמשים בצורה עם סינוס בלבד:
cos(2x) = 1 − 2sin2x📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 1 − 2sin2x
מבודדים ממנה את 2sin2x :
2sin2x = 1 − cos(2x)
בפונקציה מופיע 4sin2x = 2 · 2sin2x . כותבים אותה ומסמנים:
f(x) = 2 · 2sin2x − 1
נציב 2sin2x = 1 − cos(2x) :
f(x) = 2(1 − cos(2x)) − 1
f(x) = 2 − 2cos(2x) − 1
f(x) = 1 − 2cos(2x)
קיבלנו את מה שהיה צריך להראות ✓
✅ פתרון סופי: f(x) = 1 − 2cos(2x) ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | (0 , 2) ; (± π4 , 0) |
| סעיף ד | x ≠ π2 , 3π2 ; הוכחה |
| סעיף ה | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il