שיעור 4 – סינוס של זווית כפולה

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

סינוס של זווית כפולה

📄 נוסח השאלה

א. כתבו כל ביטוי כביטוי עם סינוס אחד:

(1) 2sin(3x) · cos(3x)

(2) sin x · cos x

(3) 6sin x · cos x

ב. נתון: sin x = 45 , והזווית x ברביע 1. מצאו את sin(2x) .

ג. פתרו את המשוואה sin(2x) = sin x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .

ד. (מתוך בגרות 482, קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = sin(2x) + 12 , המוגדרת בתחום −π2 ≤ x ≤ π2 . נתונה גם הפונקציה g(x) = −4sin x · cos x − 1 , המוגדרת באותו תחום. הוכיחו כי g(x) = −2f(x) לכל x בתחום.

✏️ פתרון

הסבר – הנוסחה sin(2x)

הנוסחה של סינוס של זווית כפולה:

לכל זווית x :

📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

מאיפה היא באה? מהנוסחה של סינוס של סכום זוויות, כששתי הזוויות שוות: 2x = x + x .

בדיקה עם x = π6 . באגף שמאל:

sin(2 · π6) = sin π3 = √32

באגף ימין מציבים sin π6 = 12 ו־cos π6 = √32 :

2 · 12 · √32 = √32 ✓

טעות נפוצה: sin(2x) לא שווה 2sin x . למשל ב־x = π2 : sin π = 0 , אבל 2sin π2 = 2 .

שני כיוונים: משתמשים בנוסחה כדי לפתוח sin(2x) למכפלה (כשרוצים גורם משותף עם sin x או cos x ), או כדי לסגור מכפלה 2sin x · cos x לסינוס אחד. הנוסחה עובדת לכל זווית – גם sin(6x) = 2sin(3x) · cos(3x) .

✅ פתרון סופי: sin(2x) = 2sin x · cos x

סעיף א – סוגרים לסינוס אחד

(1) זה בדיוק אגף ימין של הנוסחה, עם הזווית 3x במקום x . הזווית הכפולה היא 2 · 3x = 6x :

2sin(3x) · cos(3x) = sin(6x)📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

(2) חסר המספר 2. כופלים ומחלקים ב־2 (כדי לקבל את צורת הנוסחה):

sin x · cos x = 12 · 2sin x · cos x

sin x · cos x = 12sin(2x)📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

(3) מפרקים 6 = 3 · 2 :

6sin x · cos x = 3 · 2sin x · cos x

6sin x · cos x = 3sin(2x)📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

✅ פתרון סופי: ביטוי 1 הוא sin(6x) , ביטוי 2 הוא 12sin(2x) , וביטוי 3 הוא 3sin(2x)

סעיף ב – מציאת sin(2x)

בנוסחה צריך גם את cos x . מוצאים אותו מהזהות היסודית, ומסמנים את sin x :

(sin x)² + cos²x = 1📐 זהות יסודיתsin²x + cos²x = 1

נציב sin x = 45 :

(45)² + cos²x = 1

cos²x = 1 − 1625 = 925

ברביע 1 הקוסינוס חיובי:

cos x = 35

עכשיו הנוסחה, ומסמנים את מה שנחליף:

sin(2x) = 2 · sin x · cos x📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

נציב sin x = 45 ו־cos x = 35 :

sin(2x) = 2 · 45 · 35 = 2425

✅ פתרון סופי: sin(2x) = 2425

סעיף ג – משוואה

באגף שמאל זווית כפולה ובאגף ימין זווית רגילה. פותחים את sin(2x) כדי שבשני האגפים תהיה הזווית x :

2sin x · cos x = sin x📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

לא מחלקים ב־sin x – הוא יכול להיות 0, ואז נאבד פתרונות. מעבירים הכל לאגף אחד ומוציאים גורם משותף:

2sin x · cos x − sin x = 0

sin x · (2cos x − 1) = 0

מכפלה שווה 0 – אחד הגורמים שווה 0:

📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

אפשרות 1: sin x = 0 . הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0:

x = 0 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

x = π − 0 + 2πk = π + 2πk

נציב k = 0 : x = 0 , x = π . נציב k = 1 : x = 2π (וגם 3π – מחוץ לתחום).

אפשרות 2: 2cos x − 1 = 0 :

cos x = 12

cos π3 = 12📐 ערך מיוחדcos π3 = 12

x = π3 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

x = −π3 + 2πk

נציב k = 0 : x = π3 (והפתרון −π3 מחוץ לתחום).

נציב k = 1 במשפחה השנייה:

x = −π3 + 2π = 5π3

במשפחה הראשונה π3 + 2π כבר גדול מ־2π .

✅ פתרון סופי: x = 0 , π3 , π , 5π3 , 2π

סעיף ד – בגרות 482: הוכחה

מתחילים מאגף ימין. כותבים אותו ומסמנים את f(x) שנחליף:

−2f(x)

נציב f(x) = sin(2x) + 12 :

−2(sin(2x) + 12)

פותחים סוגריים:

−2sin(2x) − 1

ב־g(x) יש sin x · cos x , ולכן פותחים את sin(2x) :

−2 · 2sin x · cos x − 1📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sin x · cos x

−4sin x · cos x − 1 = g(x)

קיבלנו בדיוק את g(x) , ולכן g(x) = −2f(x) לכל x ✓

✅ פתרון סופי: g(x) = −2f(x) ✓

📌 סיכום

סעיף א	sin(6x) ; 12sin(2x) ; 3sin(2x)
סעיף ב	2425
סעיף ג	x = 0 , π3 , π , 5π3 , 2π
סעיף ד	הוכחה

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 10 פרקים459 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים