שיעור 31 – בגרות 482 קיץ 2024 מועד א׳ – שאלה 3

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 482 · קיץ 2024 מועד א׳ · שאלה 3
בגרות 482 קיץ 2024 מועד א׳ – שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = a − 12(sin x)² , a הוא פרמטר.

הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .

א. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן. הביעו באמצעות a אם יש צורך.

הישר y = 2 משיק לגרף הפונקציה f(x) .

ב. מצאו את שני הערכים האפשריים של a .

הציבו בפונקציה f(x) את הערך של a הקטן יותר שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ד.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

נתונה הפונקציה g(x) , המקיימת g′(x) = f(x) . הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום.

ד. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל טענה אם היא נכונה או אינה נכונה. נמקו את קביעותיכם.

I. לפונקציה g(x) יש 3 נקודות קיצון פנימיות.

II. הפונקציה g(x) עולה בתחום 0 < x < 2π .

✏️ פתרון

סעיף א – נקודות קיצון

הנגזרת – הנגזרת של הפרמטר a היא 0:

הנגזרת של a היא 0.

📐 נגזרת של קבועהנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0

האיבר השני הוא חזקה של sin x :

[(sin x)²]′ = 2sin x · (sin x)′📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)[uⁿ]′ = n · uⁿ⁻¹ · u′

[(sin x)²]′ = 2sin x · cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x

f′(x) = −12 · 2sin x cos x

f′(x) = −sin x cos x

משווים את הנגזרת ל־0:

−sin x cos x = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

מכפלה שווה 0, לכן sin x = 0 או cos x = 0 .

📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

אפשרות 1: sin x = 0 . הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0:

x = 0 + 2πk = 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin tx = t + 2πkx = π − t + 2πk

x = π − 0 + 2πk = π + 2πk

בתחום 0 ≤ x ≤ 2π : מהמשפחה הראשונה עם k = 0 , 1 , ומהשנייה עם k = 0 :

x = 0 , x = 2π , x = π

אפשרות 2: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :

x = π2 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos tx = t + 2πkx = −t + 2πk

x = −π2 + 2πk

בתחום: מהמשפחה הראשונה עם k = 0 , ומהשנייה עם k = 1 :

x = π2 , x = −π2 + 2π = 3π2

קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל תחום:

f′(π4) = −sin π4 cos π4 = −12 < 0

f′(3π4) = −sin 3π4 cos 3π4 = 12 > 0

f′(5π4) = −sin 5π4 cos 5π4 = −12 < 0

f′(7π4) = −sin 7π4 cos 7π4 = 12 > 0

לדוגמה, ב־3π4 :

sin 3π4 = √22 , cos 3π4 = −√22

−sin 3π4 cos 3π4 = −√22 · (−√22) = 24 = 12

שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:

f(x) = a − 12(sin x)²

נציב x = 0 (וכך גם x = π , x = 2π , שבהן sin x = 0):

f(0) = a − 12(sin 0)² = a − 0 = a

נציב x = π2 :

f(π2) = a − 12(sin π2)²

f(π2) = a − 12 · 1² = a − 12

נציב x = 3π2 :

f(3π2) = a − 12(sin 3π2)²

f(3π2) = a − 12 · (−1)² = a − 12

✅ פתרון סופי:
מקסימום: (π , a)
מינימום: (π2 , a − 12) , (3π2 , a − 12)
מקסימום קצה: (0 , a) , (2π , a)

סעיף ב – הערכים של a

הישר y = 2 הוא ישר אופקי (שיפוע 0). ישר אופקי משיק לגרף בנקודה שבה f′(x) = 0 , כלומר בנקודת קיצון פנימית.

שיפוע המשיק שווה לנגזרת בנקודה, ושיפוע של ישר אופקי הוא 0.

📐 משוואת משיקy − y₁ = m(x − x₁)m = f′(x₁)

לכן שיעור ה־y של נקודת המקסימום או של נקודת המינימום שווה 2.

אפשרות 1: הישר משיק בנקודת המקסימום (π , a) :

a = 2

אפשרות 2: הישר משיק בנקודות המינימום (π2 , a − 12) :

a − 12 = 2

a = 2 + 12 = 52 = 2.5

✅ פתרון סופי: a = 2 או a = 2.5

סעיף ג – סקיצה

הערך הקטן יותר הוא a = 2 . נציב בפונקציה:

f(x) = 2 − 12(sin x)²

נציב a = 2 בשיעורי הנקודות מסעיף א:

a = 2 , a − 12 = 2 − 12 = 32

מקסימום: (0 , 2) , (π , 2) , (2π , 2) ; מינימום: (π2 , 32) , (3π2 , 32) .

הערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא 32 – חיובי, ולכן כל הגרף מעל ציר x . החיתוך עם ציר y הוא (0 , 2) .

מחברים לפי הציר מסעיף א: יורדת, עולה, יורדת, עולה.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – טענות על g(x)

נתון g′(x) = f(x) , כלומר הפונקציה f(x) היא הנגזרת של g(x) . לכן הסימן של f(x) קובע אם g(x) עולה או יורדת.

מסעיף ג, הערך הקטן ביותר של f(x) הוא 32 , ולכן בכל התחום:

g′(x) = f(x) ≥ 32 > 0

הנגזרת של g חיובית בכל התחום, ולכן g עולה בכל התחום.

📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘

טענה I: בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת. אבל g′(x) = f(x) אף פעם לא שווה 0 (הגרף של f לא חותך את ציר x). לכן ל־g(x) אין נקודות קיצון פנימיות – הטענה אינה נכונה.

אין נקודה פנימית שבה g′(x) = 0 .

📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

טענה II: g′(x) > 0 בכל התחום, ולכן g(x) עולה בתחום 0 < x < 2π – הטענה נכונה.

✅ פתרון סופי:
טענה I: אינה נכונה
טענה II: נכונה

📌 סיכום

סעיף א	מקס. (π , a) , מינ. (π2 , a − 12) , (3π2 , a − 12) , מקס. קצה (0 , a) , (2π , a)
סעיף ב	a = 2 או a = 2.5
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד	טענה I אינה נכונה טענה II נכונה

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 11 פרקים516 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים